Раздел 2 Основы сопротивления материалов Тема урока:

Раздел 2 Основы сопротивления материалов

Тема урока: 2. 4 Кручение. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Модуль сдвига. Кручение прямого бруса круглого сечения: крутящие моменты и их эпюры. Деформация при кручении (угол закручивания: абсолютный и относительный). Цель урока: формирование знаний по данной теме и умений строить эпюры крутящих моментов

Чистый сдвиг – напряженное состояние тела, при котором на четырех гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, а две грани свободны от напряжений. Согласно закону парности напряжений касательные напряжения на всех четырех площадках равны по абсолютной величине и направлены по смежным граням от ребра или к ребру.

Докажем равновесие выделенного элемента при сдвиге. На вертикальных площадках, площадь которых действуют силы которые образуют пару сил с моментом

На горизонтальных площадках, площадь которых действуют силы образующие пару сил с моментом а алгебраическая сумма моментов пар сил будет равна 0, т. е.

Деформация сдвига состоит в том, что под действием внешних сил первоначальная форма выделенного элемента искажается , т. е. горизонтальные площадки сдвигаются относительно друга: - величина абсолютного сдвига, на которую сдвигаются горизонтальные площадки относительно друга; - угол, на который изменяется прямой угол между двумя смежными гранями; он не зависит от размеров выделенного элемента, является мерой деформации сдвига и называется углом сдвига.

Экспериментально установлено, что касательные напряжения и величина угла сдвига в пределах упругих деформаций связаны прямо пропорциональной зависимостью, которая выражает Закон Гука При растяжении-сжатии При сдвиге - - модуль продольной - - модуль упругости или материала при сдвиге или модуль Юнга или модуль сдвига или модуль упругости первого рода упругости второго рода; - - продольная - угол сдвига деформация

- модуль сдвига характеризует жесткость материала при сдвиге; размерность Для стали Для одного и того же материала между модулем продольной упругости модулем сдвига и коэффициентом Пуассона существует зависимость:

Крутящие моменты и их эпюры Давайте вспомним что называют кручением? Кручением называют деформированное состояние бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент.

Чтобы получить деформацию кручения брус необходимо нагрузить, например, двумя парами сил, действующими в противоположных направлениях, в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса, моменты которых и называют внешними скручивающими моментами. Они определяются по формулам: или Размерность если - мощность, Вт; - угловая скорость, рад/с или с-1; - частота вращения, мин-1.

Крутящий момент в сечениях бруса определяют с помощью метода сечений: Мысленно рассекаем брус и одну часть отбрасываем. Так как равномерно вращающийся вал или неподвижный брус находятся в равновесии, то очевидно, что внутренние силовые Если к брусу приложено несколько факторы, возникающие скручивающих моментов, то в поперечном сечении должны уравновешивать крутящий момент в любом внешние моменты, поперечном сечении численно действующие на равен алгебраической сумме оставленную часть: внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения:

Правило знаков: крутящий момент в сечении считают положительным, если при взгляде со стороны сечения внешние моменты направлены по часовой стрелке и наоборот. Давайте подумаем, какие моменты крутят по часовой, а какие против часовой стрелки? Моменты m 1 и m 3 крутят по часовой стрелке Моменты m 2 и m 4 крутят против часовой стрелки

Для получения наглядной картины деформированного состояния бруса или вала строят эпюры крутящих моментов, которые дают возможность определить опасное сечение. Давайте вспомним какое сечение называют опасным? Сечение, в котором действует максимальный крутящий момент. Пользуясь принципом смягченных граничных условий, будем полагать, что в поперечных сечениях, где приложен вращающий момент, значения крутящего момента меняются скачкообразно, на величину приложенного момента.

Задача: Построить эпюру крутящих моментов для трансмиссионного вала, если Разбиваем вал на участки 1, 2, 3, 4, 5. Используя метод сечений, определяем крутящие моменты для каждого участка. Положительные крутящие моменты будем откладывать вверх от оси, а отрицательные - вниз.

На участках 1 и 5 крутящий момент равен нулю, так как вращающие моменты здесь отсутствуют. Определяем крутящие моменты для всех участков: 1 -1 , 5 -5 : 2 -2:

3 -3:

4 -4:

Кручение прямого бруса круглого сечения Теория кручения бруса круглого сечения основана на следующих допущениях: 1)гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений: плоские нормальные поперечные сечения, проведенные в теле до деформации, остаются и при деформации плоскими и нормальными к оси; 2) ось цилиндра, называемая осью кручения, остается прямолинейной; 3) расстояния между сечениями не изменяются; 4) размеры поперечных сечений не искривляются. Следовательно, деформация кручения круглого бруса заключается в повороте поперечных сечений относительно друга вокруг оси кручения. При этом углы их поворота прямо пропорциональны расстояниям от заделанного сечения: чем дальше отстоит сечение от заделки, тем больше угол поворота

Угол поворота сечения равен углу закручивания части цилиндра, заключенного между данным сечением и заделкой. Угол поворота концевого сечения называют полным углом закручивания цилиндра. Относительным углом закручивания цилиндра называют отношение угла закручивания к расстоянию z от данного сечения до заделки. Если брус состоит из одного участка (т. е. имеет постоянное сечение и нагружен скручивающим моментом ) , то: (1)

Рассмотрим тонкий слой материала на поверхности бруса (ячейка kncd ). При деформации эта ячейка перекашивается и принимает положение Давайте подумаем какую деформацию нам это напоминает? Аналогичную картину деформации мы наблюдали при сдвиге. Таким образом, при кручении возникает деформация сдвига в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого, следовательно, в точках поперечного сечения возникают только касательные напряжения перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения.

Из рисунка видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна равен дуге а сечения волокна - дуге Т. к. радиусы сечения при кручении остаются прямыми, то величина абсолютного сдвига волокон прямо пропорциональна их расстоянию до оси кручения: где - полный угол закручивания, рад; - радиус цилиндра; - расстояние волокна до оси кручения.

Относительный сдвиг сечения волокна (1) (2) В формулу Гука для сдвига подставим (2): (3) При т. е. на оси кручения касательные напряжения равны нулю; при

т. е. касательные напряжения достигают максимального значения у волокон наиболее удаленных от оси кручения: Т. к. относительный угол есть величина постоянная для данного цилиндрического бруса, то касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от точек сечения до оси бруса. Т. к. внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми (кольцевыми), чем достигается значительный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.

Контрольные вопросы по теме: 1 Что называют кручением? 2 Сформулировать закон Гука при кручении. 3 Какую размерность имеет модуль сдвига? 4 Как определить знак момента при кручении? 5 Что называют относительным углом закручивания цилиндра? 6 Какие напряжения возникают в поперечных сечениях при кручении? 7 Как распределены напряжения по сечению бруса при кручении?

Решение задачи на построение эпюр крутящих моментов

Домашнее задание: А. И. Аркуша. «Теоретическая механика и сопротивление материалов» [1] с. 250 -254, презентация или опорный конспект 2. 4; ПР «Построение эпюр крутящизх моментов» (достроить дома, кто не успел на уроке)