Раздел 2. Компьютерное моделирование Лекция 4.

Раздел 2. Компьютерное моделирование Лекция 4. Статистическое моделирование

Статистическое моделирование на ЭВМ Компьютерное моделирование – деятельность по разработке программных моделей систем, выполнение этих программ на компьютере и анализ результатов по исследованию поведения моделей Области компьютерного моделирования: n имитационное моделирование l GPSS, Vis. Sim, Any. Logic, Dy. Mo. La, Dynast, Multisim, MBTY, Simulink n статистическое моделирование l метод решения вероятностных и детерминированных задач, основанный на эффективном использовании случайных чисел и законов теории вероятностей

Организация статистического моделирования Преобразованная Последовательн последовательно Исследуемая ость случайных модель чисел величин (выборка)

Организация статистического моделирования n При имитационном моделировании стохастических систем имитируются: l случайное событие с заданными вероятностями, l случайные величины с заданными распределениями, l случайные процессы с заданными характеристиками (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция). n Для имитации случайной величины с заданным распределением нужно иметь генератор (датчик) случайных чисел (ДСЧ), генерирующий числа с заданным законом

Организация статистического моделирования Генерирование случайных чисел на ЭВМ с заданным законом распределения: n Получают последовательность равномерно распределенных на интервале [0, 1] псевдослучайных чисел, n Из равномерно распределенной последовательности получают последовательность псевдослучайных чисел с заданным законом распределения в заданном интервале.

Генерирование базового распределения Типы датчиков случайных чисел n Табличные l просто таблица случайных чисел n Физические l специальное радиоэлектронное устройство, содержащее источник электронного шума n Программные l числа получают с помощью некоторой рекуррентной формулы, где каждое следующее значение образуется из предыдущего предыдущих путем применения некоторого алгоритма

Генерирование базового распределения Метод середины квадрата n произвольное число, меньшее 1 возводят в квадрат, n отбрасывают цифры с обоих концов, n оставшуюся часть используют как случайное число. n процесс повторяют. Пример

Генерирование базового распределения Мультипликативный конгруэнтный метод n расчет по формуле: l где mod – операция получения остатка от деления; l a и c – задаваемые целые числа; l x 0 – задается в начале расчета алгоритма. n В результате случайное число:

Проверка качества датчика случайных чисел Основные требования, предъявляемые к ДСЧ: n Равномерность распределения псевдослучайных чисел. n Независимость чисел.

Проверка равномерности распределения n Дисперсия оценки вероятности события при n опытах и биномиальной схеме испытаний n В действительности оценка может отличаться от истинного значения на 3 n Если оценка входит в интервал: то нет основания отвергать гипотезу о равномерности

Проверка независимости чисел n Автокорреляционная функция отражает корреляцию между элементами последовательности, расположенными на расстоянии s (s = 0, 1, 2, . . . ). n Корреляционная функция К(s) идеальной псевдослучайной последовательности должна l равняться D[r] при s = 0 l и нулю при s > 0, где r – случайная величина, значениями которой являются числа, генерируемые ДСЧ,

Моделирование случайных событий n Наступление события А с заданной вероятностью Р(А) имитируется с помощью ДСЧ n При обращении к ДСЧ выбирается число r и принимается решение о наступлении (или нет) события А: n Моделирование нескольких событий

Моделирование дискретных случайных величин n Дискретная случайная величина задается перечнем случайных величин и их вероятностями l Каждый раз при обращении к ДСЧ выбирается то значение случайной величины, в чью область попало случайное число

Лекция 5. Моделирование непрерывных случайных величин с произвольными законами распределения

Механизм моделирования случайной величины с произвольным законом распределения Порядок определения СВ X: n Выбирается r (с помощью ДСЧ). n Определяется F( x ) = r. n Рассчитывается x = F-1 ( r )

Моделирование экспоненциального распределения n Функция распределения n Выражение для определения искомой величины:

Моделирование нормального распределения n Эмпирические формулы: центральная предельная теорема теории вероятностей: n сумма случайных величин имеет распределение асимптотически стремящееся к нормальному, если все СВ имеют конечные математические ожидания и дисперсии и ни одна из величин по своему значению резко не отличается от остальных l СВ с нормальным законом можно получить путем суммирования величин r (для практических задач можно ограничиться 12 ю слагаемыми)

Приближенные методы моделирования непрерывных случайных величин Метод численного интегрирования n Для определения x требуется решить уравнение Последовательность действий: n С помощью ДСЧ выбирается r. n Интегрируется f(x) до тех пор, пока интеграл не превзойдет r. n То значение x, при котором F(x) r и есть искомое значение x.

Приближенные методы моделирования непрерывных случайных величин Интервальный метод n заключается в разбиении области значений х на непересекающиеся интервалы.

Лекция 6. Организация компьютерного моделирования инфокоммуникационных систем

Моделирование марковских цепей с дискретным временем переходов n Для марковских цепей переходы осуществляются в соответствии с заданными вероятностями l Переход в новое состояние связывается с попаданием СВ r в интервал: если r попал в интервал “j", то переход на шаге (t + 1) произойдет в состояние j. В этом случае переходы будут происходить с частотами, в пределе совпадающими с

Моделирование марковских процессов с непрерывным временем переходов n Как по интенсивностям разыграть состояние, в которое произойдет переход? n При разрешении поставленного вопроса возникает необходимость решения двух задач: l определение времени перехода – l определение состояния, в которое переходит система из текущего состояния (i е состояние).

Моделирование марковских процессов с непрерывным временем переходов n Определение состояния, в которое переходит система из текущего состояния (i е состояние): l диапазон ДСЧ (0… 1) разбивается на отрезки, пропорциональные вероятности перехода в другое состояние l выбрать r и тем самым определить, в какое состояние перейдет система

Моделирование систем массового обслуживания n Для решения задачи статистического моделирования функциони рования СМО должны быть заданы следующие исходные данные: l описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности рабо ты системы); l параметры закона распределения периодичности поступлений требований в систему; l параметры закона распределения времени пребывания требова ния в очереди (для СМО с ожиданием); l параметры закона распределения времени обслуживания требо ваний в системе .

Моделирование систем массового обслуживания n Время функционирования системы разделяется на достаточно большое количество подинтервалов l единиц времени, в течение которых не может возникнуть более одной заявки или завершиться выполнение более одной заявки

Моделирование систем массового обслуживания n Для каждого такого подинтервала: l последовательно моделируется факт появления новой заявки (да/нет). l проверяется наличие свободного канала (закончено ли обслуживание какой то заявки) и загрузка его заявкой из очереди, l проверяется наличие мест в очереди с последующим выводом (принять в очередь/отказать в обслуживании) и т. д. l Фиксируется число отказов, время ожидания заявок в очереди и в системе вообще, число заявок в очереди в каждый момент и другие значения.