Раздел 2 ДИФФУРЕНЦИАЛЬНОЕ ИЗЧИСЛЕНИЕ ТЕМА 4 ПРЕДЕЛЫ Лекция

Раздел 2. ДИФФУРЕНЦИАЛЬНОЕ ИЗЧИСЛЕНИЕ ТЕМА 4. ПРЕДЕЛЫ Лекция 4. 3. Предел функции Вопросы 1. Предел функции в точке. 2. Предел функции на бесконечности. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. 4. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Определение 1. (на «языке последовательностей» , или по Гейне). Число А называется пределом функции у = f (х) в точке x 0 (или при х x 0), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, n N (хп хо), сходящейся к хо (т. е. хп = хо), последовательность соответствующих значений функции f (xn), n N, сходится к числу А (т. е. f (xn)= А).

def. f (х) = А или f (х) А при х x 0. Геометрический смысл предела функции: f (х) = А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке - » , или по Коши). Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х хо), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х x 0, удовлетворяющих неравенству х –хо < , выполняется неравенство f (x) - А < .

Геометрический смысл предела функции: А = (х), если для любой -окрестности точки А найдется такая окрестность точки x 0, что для всех х x 0 из этой окрестности соответствующие значения функции (х) лежат в -окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f (х) лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми у = А+ , у = А - . Очевидно, что величина зависит от выбора , поэтому пишут = ( ).

Односторонние пределы В определении предела функции f (х) = А считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки x 0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к x 0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Опр. Число A 1 называется пределом функции у = f (х) слева в точке x 0, если для любого число > 0 существует число = ( ) > 0 такое, что при х (х0 — ; х0), выполняется неравенство | (х) — А| < . Предел слева записывают так: f (х) = A 1 или коротко: (х0 - 0) = A 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. ).

Предел функции справа, запишем его с помощью символов: ( > 0 = ( ) х (х0; х0+ ) | (х) – А 2< ) | (х) =А 2. Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует f (х) = А, то существуют и оба односторонних предела, причем А = A 1 = A 2.

2. Предел функции на бесконечности Пусть функция у = f (х) определена в промежутке (- ; ). Число А называется пределом функции f (х) при х , если для любого положительного числа существует такое число М = М ( ) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству х > М выполняется неравенство f(х) -А < .

( 0 М 0 x: х М (х)- А ) (x) = A

Геометрический смысл этого определения таков, для > 0 М > 0, что при х (- ; -М) или х (М; + ) соответствующие значения функции f (х) попадают в окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2 , ограниченной прямыми у=А+ и у=А- .

3. Бесконечно большая функция (б. б. ф. ) и бесконечно малая функция (б. м. ф. ) Опр. Функция у = f (х) называется бесконечно большой при х x 0, если для любого числа М > 0 существует число = (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < х – x 0 < , выполняется неравенство | (x) | > М. Записывают f (х) = или f (х) при х х0 ( M 0 0 x: x-x 0 , x x 0 (x) M (x)=

Например, у = есть б. б. ф при х 2. Если f (х) стремится к бесконечности при х х0 и принимает лишь положительные значения, то пишут (х) =+ ; если лишь отрицательные значения, то (х) = -

Функция у = f (х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х , если для любого числа М > 0 найдется такое число N = N (М) > О, что при вcех х удовлетворяющих неравенству х > N, выполняется неравенство | (х) | > М. Коротко: ( М 0 х: х (х) ) (x) = Например, у = 2 х есть б. б. ф. при х .

Опр. Функция у = f (х) называется бесконечно малой при х x 0, если (x) = 0 Для любого числа > 0 найдется число > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x 0| < , выполняется неравенство | (x) | < .

Примеры б. м. ф. (бесконечно малых функций): у = х2 при x 0; у = x — 2 при х 2; у = sin x при х k, k Z.

Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Док-во. Пусть (x) и (х) — две б. м. функции при x x 0. , Это значит, что а(х) = О, т. е. для любого > 0, а значит, и > 0 найдется число 1 >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | x-x 0| < 1, выполняется неравенство (x) (2) И (х) = 0, т. е. ( 0 2 0 x: 0 x-x 0 2 ) (x) (3) Пусть S — наименьшее из чисел 1 и 2. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < | x-x 0| < , выполняются оба неравенства (2) и (3). Следовательно, имеет место соотношение (х)+ (x) < (х) + (х) < + = .

Таким образом, > 0 x: 0 < | x-x 0| < (х)+ (x) Это значит, что ( (х)+ (х)) = 0, т. е. (х)+ (х) — б. м. ф. при х x 0

Теорема. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая

Док-во. Пусть функция f (х) ограничена при х x 0. Тогда существует такое число М > 0, что f (х) М (4) для всех х из 1 -окрестности точки x 0. И пусть (х) — б. м. ф. при х x 0. Тогда для любого > 0, а значит, и > 0 найдется такое число 2 > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | x-x 0| 2 выполняется неравенство (х) (5) Обозначим через наименьшее из чисел 1 и 2 Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < | x-x 0| < , выполняются оба неравенства (4) и (5). Следовательно, | (x) | = | (x) | < М=. А это означает, что произведение f (х) при х x 0 есть бесконечно малая функция.

Следствие. Так как всякая б. м. ф ограничена, то из теоремы вытекает что произведение двух б. м. ф есть функция бесконечно малая. Следствие. Произведение б. м. ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, име ющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая. Док-во. Пусть (х) = 0, а f (х) = а 0. Функция может быть представлена в виде произведения б. м. ф. (х) на ограниченную функцию Но тогда из пред. теоремы вытекает, что частное = (х) есть функция б. м. Покажем, что функция ограниченная. Возьмем < а. Тогда, на основании определения предела, найдется > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < х — хо < , выполняется неравенство | (х) - а| < . . А т. к. > f (x) - а = а - f (x) а - (х) , то а - f(х) < т. е. | (х) | > |а| - > 0. Следовательно, =М, т. е. функция ограниченная.

Теорема Если функция (х) — бесконечно малая (а 0), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f (х) — бесконечно большая, то бесконечно малая. Док-во. Пусть (х) есть б. м. ф. при х х0, т. е. (х) = 0. Тогда ( > 0 х 0 < |х - хо < ) (х) < , т. е. > т. е. М, где М = . А это означает, что функция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное) утверждение.