Раздел 1 Введение Введение Теория решений уравнений

Раздел 1 Введение

Введение Теория решений уравнений в целых числах является классическим разделом элементарной математики. Конкретные задачи такого рода решались уже около 2 тысяч лет до нашей эры. Древнегреческий мыслитель Диофрант, живший около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких уравнений и, в сущности, описал общие методы их решения.

Введение В школьной программе эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе (можно сказать, что вообще не проходится), хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах очень часто бывают на вступительных экзаменах и на олимпиадах по математике в старших классах. Задачи такого типа являются задачами повышенной сложности. В последний год они введены и на Едином Государственном Экзамене по математике в задачах С 6.

Раздел 2 Делимость чисел

Делимость чисел. Связанной с решением уравнений в целых числах темой, является тема делимости чисел. Без знания основных принципов и теорем этой темы невозможно решение задач по исследуемой проблеме. Мы докажем лишь одно из них, так как остальные доказываются аналогично. В дальнейшем, обозначение (: ) необходимо считать символом 'кратно'. Определение. Пусть a, b — целые числа, b≠ 0. Тогда a (: ) b означает, что существует такое целое число с, что а=b*c. Основные принципы и свойства: (a, b, c, k, n — целые числа) 1) a (: ) b => ka (: ) b 2) а (: ) с и b (: ) c => (a+b) (: ) c и (a-b) (: ) c 3) a (: ) k и b (: ) n => ab (: ) kn 4) a (: ) b и b (: ) c => a (: ) c

Делимость чисел Докажем свойство под номером три: a (: ) k и b (: ) n => ab (: ) kn Доказательство: 1) По определению делимости двух чисел a (: ) k означает, что a=kq, q-целое число; b (: ) n означает, что b=nt, t-целое число; 2) ab=(qt)*(kn), где qt — целое число, 3) заменив qt на целое число x, получим: ab=x*(kn), следовательно, по определению делимости двух чисел (ab) (: ) (kn), что и требовалось доказать.

Раздел 3 Основные методы решения уравнений в целых числах.

Основные методы решения уравнений в целых числах. * 1) Решения уравнений в целых числах, которые основываются на методе кратности. 2) Решения, в которых рассматривается окончание левой и правой частей уравнения на одну и ту же цифру. 3) Метод оценки. 4) Разложение на множители. 5) Решение уравнений как линейное/квадратное относительно одной из целых переменных. Выделение целой части. *Примеры данного раздела не являются примерами высокого уровня, они представлены лишь для ознакомления с основными принципами и методами решения уравнений в целых числах.

Метод кратности. Основной принцип: если левая часть уравнения целочисленно делится на число n, являющееся в свою очередь целым, то и правая часть уравнения обязана делиться на это число. Если это не так, то такое уравнение не имеет решений. Пример. Решить в целых числах: 21 x+35 y=17. Решение. Вынесем из левой части уравнения число 7, получим: 7*(3 x+5 y)=17. Очевидно, что левая часть уравнения кратна 7, а правая — нет. Следовательно, такое уравнение не имеет решений в целых числах.

Окончание частей уравнения на одну и ту же цифру. Основной принцип: левая и правая части уравнения в целых числах должны оканчиваться на одну и ту же цифру. Пример. Решить в целых числах: x 2=5 y 2+3 Решение. Очевидно, что 5 y 2 оканчивается на 0 либо на 5, а 5 y 2+3 соответственно оканчивается на 3 либо на 8. Нетрудно убедиться, что x 2 может оканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6, 9. Значит левая и правая части исходного уравнения оканчиваются на разные чифры. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах. В этом можно убедиться, используя предыдущий метод решения и проверив кратность частей уравнения на 5.

Метод оценки. Основной принцип: сведение уравнения в целых числах к уравнению с очевидной оценкой. В большинстве случаев представляет собой сведение к неотрицательному выражению или к их сумме. Пример. Решить в целых числах: 5 x 4 -40 x 2+2 y 6 -32 y 3=-208 Решение. 1) Сгруппируем: 5(x 4 -8 x 2+16)+2(y 6 -16 y 3+64)=0 2) Воспользовавшись формулами сокращенного умножения, получим: 5(x 2 -4)2+2(y 3 -8)2=0 3) Так как, 5(x 2 -4)2≥ 0 и 2(y 3 -8)2 ≥ 0, следовательно, решение возможно лишь при x 2 -4=0 и y 3 -8=0 4) Ответ: x={-2; 2}, y={2}

Разложение на множители. Основной принцип: необходимо разложить уравнение на множители так, чтобы каждый из множителей представлял из себя целое число, а затем подобрать значения соответствующие этим множителям. Пример. Решить в целых числах: 2 xy-8 y+x-9=0 Решение. 1) 2 xy-8 y+x-4 -5=0; 2) 2 y*(x-4)+(x-4)=5; 3) Разложив на множители, получим: (2 y+1)(x-4)=5; 4) Возможны варианты: 2 y+1 x-4 5) Решив соответствующие -5 -1 системы уравнений, -1 -5 получим ответ. Ответ: (5; 2) (3; -3) (9; 0) (-1; 1) 1 5 5 1

Раздел 4 Решение уравнений в натуральных числах.

Решение уравнений в натуральных числах. Рассмотрим три самых используемых метода решения уравнений в натуральных (целых) числах. Это решение уравнений как квадратное относительно одной из переменных (cоответственно для квадратных и сходных с ними уравнений), выделение целой части и разложение на множители. Пример. Решить в натуральных числах: 2 k 2+7 k=2 mk+3 m+36 Решим уравнение этими тремя способами.

Решение уравнений в натуральных числах. (1) 2 k +7 k=2 mk+3 m+36 2 1) Решим квадратное уравнение относительно k: 2 k 2+(7 -2 m)k-3 m-36=0, D=49 -28 m+4 m 2+24 m+288=4 m 2 -4 m+337; 4*k 1=(2 m-7)+√(4 m 2 -4 m+337) 4*k 2=(2 m-7)-√(4 m 2 -4 m+337), но так как 4 k, 2 m-7 — целые числа (k, m- натуральные по условию) => √(4 m 2 -4 m+337) — является целым числом. 2) Пусть L = √(4 m 2 -4 m+337), L>0, L — целое. Тогда L 2=4 m 2 -4 m+337. 3) Решим квадратное уравнение относительно m: L 2=4 m 2 -4 m+337, D=4+4 L 2 -1348=4 L 2 -1344; 4*m 1=2+√(L 2 -336) 4*m 2=2 -√(L 2 -336), но так как 4 m — натуральное число (m- натуральное по условию) => √(L 2 -336) — является целым числом. 4) Пусть N = √(L 2 -336), N>0, N — целое. Тогда N 2=L 2 -336. И получаем выражение (L-N)(L+N)=336, решаем это уравнение в натуральных числах и с помощью L и N находим k и m - получаем: k=9 m=9

Решение уравнений в натуральных числах. (2) 2 k 2+7 k=2 mk+3 m+36 m(2 k+3)=2 k 2+7 k-36 1) Проверим 2 k+3=0, в натуральных числах это уравнение не имеет решений. 2) Тогда решим для 2 k+3≠ 0: m=(2 k 2+7 k-36)/(2 k+3), выделив целую часть, получим : m=k+2 -42/(2 k+3); Так как m и k — натуральные, значит, 42/(2 k+3) — целое число. Это возможно только, если 42 кратно (2 k+3). То есть, если 2 k+3 = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}. Решив соответственные уравнения, получим, что единственно возможный случай — 2 k+3=21 => k=9, m=9. Ответ: k=9, m=9.

Решение уравнений в натуральных числах. (3) 2 k 2+7 k=2 mk+3 m+36 Разложим на множители: 1) k(2 k+7)-m(2 k+3)=36 2) k(2 k+3)-m(2 k+3)=36+4 k 3) k(2 k+3)-m(2 k+3) -2(2 k+3)=30 4) (2 k+3)(k-m+2)=42, но так как m, n — натуральные, значит (2 k+3) и (k-m+2) — являются целыми числами, делителями 42. 5) После перебора получаем, что единственный возможный вариант — (2 k+3)=21, а (k-m+2)=2. Следовательно m=9, k=9 Ответ: m=9, k=9.

Решить в натуральных числах x-15=y 2 2 Перепишем уравнение в виде 2 x=y 2+15. Если есть решение, то правая часть должна делиться на 2. Ищем y=2 t + r. Получаем r=1, т. е. y = 2 t+1. При t = 0 получаем x = 4, y = 1, y = -1.

Решить в натуральных числах n+1=3 m уравнение 2 Ответ: n=1, m=1 или n=3, m=2. Если n=1, то m=1. Рассмотрим теперь случай, когда n>1. В этом случае 3 m=1(mod 4). Отметим, что 32 k+1=3*9 k=3(mod 4). Поэтому m=2 k, а значит, (3 k 1)(3 k+1)=2 n. Таким образом, числа 3 k-1 и 3 k+1 — степени двойки, которые отличаются друг от друга на 2. Это возможно лишь в том случае, когда k=1, т. е. m=2 и n=3.

Раздел 5 Решение уравнений в целых числах.

Решение уравнений в целых числах. В этом разделе будут рассмотрены задачи, встречавшиеся на олимпиадах в старших классах, а также будет показано решение нескольких задач из банка заданий С-6 ЕГЭ по математике.

Найти все целые решения 2+4 xy-7 y 2=13 уравнения 3 x 1) Разложим на множители: 3 x 2+4 xy-7 y 2 x 1=(-2 y+√(4 y 2+21 y 2))/3=y x 2=(-2 y-√(4 y 2+21 y 2))/3=-7 y/3; то есть (x-y)(3 x+7 y)=13, где (x-y) и (x+7 y/3) - целые. 2) Решив соответсвующие системы, получим, что x и y целые лишь при x-y=1, 3 x+7 y=13 и при 3 x+7 y=-13, x-y=1 3) Следовательно x={2, -2} y={1, -1}

Найти все целые решения уравнения 113 x+179 y=17, где x>0, y+100>0 1) x>0 по условию, значит 17 -179 y>0 => y< 17/179. 2) (y+100)> 0 по условию, значит y>-100 3) y - целое, значит -100

Решить в целых числах m+7=2 n 3 Левая часть при делении на 3 дает в остатке 1. Степени 2 оканчиваются 2, 4, 8, 6, поэтому при делении на 3 остаток равный 1 дают только четные степени 2. (n=2 k). Тогда 3 m=22 k -7=4 k-7. Но 4 k-7 при делении на 4 дает остаток 1. Значит и m четное. (m=2 p). Так. обр. , 32 p = 22 k-7, 7=22 k-32 p = (2 k 3 p)(2 k+3 p). Отсюда имеем 2 k+3 p=7, 2 k-3 p=1, т. е. m=2, n=4. При m=0 получаем n=3. Ответ: m=2, n=4; m=0, n=3.

Решить в целых числах 3 -2 y 3 -4 z 3=0 уравнение x Ответ: x=y =z =0; Пусть x 3 -2 y 3 -4 z 3=0, где x, y, z -целые числа. Тогда число x четно. После замены x=2 x 1 получаем уравнение 8 x 13 -2 y 34 z 3=0. Сократим на 2: 4 x 13 -y 3 -2 z 3=0. Значит, число y четно. После замены y=2 y 1 получаем уравнение 4 x 13 -8 y 13 -2 z 3=0. Снова сократим на 2: 2 x 13 -4 y 13 -z 3=0. Значит z четно. После замены z=2 z 1 получаем уравнение x 13 -2 y 13 -4 z 13=0, которое имеет такой же вид, как и исходное уравнение. Поэтому снова можно доказать, что числа x 1, y 1, z 1 четны и т. д. Но это возможно лишь в случае, когда x=y=z=0.

Решить уравнение 4+x 3+x 2+x+1=y 2 в целых числах x Ответ: x=3; y=11. Представим уравнение в виде (x 5 -1)/(x-1)=y 2, из которого легко подбирается решение. Докажем, что других решений нет. Исходное уравнение представим в виде (x)(x+1)(x 2+1)= y 2 - 1. Справа стоит разность квадратов нечетных чисел, которая всегда делится на 8, а слева выражение не делится на 8.

Решить в целых числах 2 -2 xy+9 x+y=2 2 x Ответ: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (-1; 3). Преобразуем уравнение y(2 x-1)=2 x 2+9 x-2 , т. к. x -целое, то 2 x-1 не равно 0, поэтому выразим y через x: y=(2 x 2+9 x-2)/(2 x-1)=x+5+3/(2 x-1). Поскольку x и y — целые числа, то 3/(2 x-1) тоже целое. Значит 2 x-1 — делитель 3, т. е. 1) 2 x-1=1, x=1; 2) 2 x-1= -1, x=0; 3) 2 x-1=3, x=2; 4) 2 x-1= -3, x = -1.

Раздел 6 Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки • • В теме «целые цисла» важное место занимают пифагоровы тройки. Натуральные числа a, b, c называют пифагоровой тройкой, если a 2 +b 2=c 2. Пифагорову тройку называют примитивной, если у чисел a, b, c нет общего делителя. Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э. ) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Задачи на пифагоровы тройки Пусть a, b, c — примитивная пифогорова тройка. Доказать, что одно из чисел a или b четно, а другое нечетно. Решение: Числа a и b не могут быть оба четными, потому что иначе число c тоже было бы четным. Числа a и b не могут быть оба нечетными, потому что иначе число a 2+b 2 делилось бы на 2, но не делилось бы на 4.

Пусть a, b, c — примитивная пифагорова тройка. Доказать, что ab делится на 12. Если m и n нечетны, то m+n четно. Если m и n не делятся на 3, то либо числа m и n дают одинаковые остатки при делении на 3(тогда m -n делится на 3), либо одно из них при делении на 3 дает остаток 1, а другое дает остаток 2 (тогда m+n делится на 3). Таким образом, доказано, что для любых взаимно простых натуральных чисел m и n число mn(m+n)(m-n) делится на 6.

Пусть a, b, c — примитивная пифагорова тройка, причем число a четно. Доказать, что существуют взаимно простые числа m и n, для которых a=2 mn, b=m 2 -n 2, c=m 2+n 2. Доказательство. Числа (c-b)/2 и (c+b)/2 взаимно простые , поэтому из равенства (a/2)2=((c-b)/2)((c+b)/2) следует, что (cb)/2=n 2 и (c+b)/2=m 2, где m и n — взаимно простые числа. При этом c=m 2+n 2 и b=m 2 -n 2.

Доказать, что для любого натурального числа n уравнение x 3+y 3=n имеет конечное число целочисленных решений. Доказательство. Пусть x+y=a и x 2 -xy+y 2=b. Тогда ab=n. Число n можно лишь конечным числом способов разложить на множители a и b, поэтому получаем конечное число систем уравнений x+y=a, x 2 -xy+y 2=b. Выразим y из первого уравнения и подставим во второе. В результате получим уравнение x 2 -x(a-x)+(a-x)2=b, которое имеет не более двух решений. Каждому целочисленному решению x этого уравнения соответствует одно целочисленное решение исходной системы, т. е. (x, ax)

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел. В своем проекте я постарался изложить некоторые основные результаты решения уравнений в целых числах. Спасибо за внимание!