Раздел 1. Множества, отношения и алгебраические

Раздел 1. Множества, отношения и алгебраические структуры 1. 1. Множества, элементы множеств Множество – определённая совокупность объектов. Объекты - элементы множества. Примеры множеств а) N – мн-во натуральных чисел 1, 2, 3, …; б) P – мн-во всех простых чисел 2, 3, 5, 7…; с) Z – мн-во всех целых чисел …-2, -1, 0, 1, 2, …; d) R – мн-во всех действительных чисел. - x принадлежит М. - x не принадлежит М. Мн-во, элементы которого мн-ва, называются классом или семейством. Мн-во, не содержащее элементов, называется пустым – ø. Универсум ( U) – достаточно широкое мн-во , из которого берутся элементы в каждом конкретном случае. Способы задания мн-в: 1) перечисление элементов: ; 2) порождающей процедурой, например 3) характеристическим предикатом, например 1

Литература • Кузнецов О. П. , Адельсон – Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера / М. , Энергоиздат, 1988. – 480 с. • Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов : Учебник/ СПб. : Питер, 2000. – 304 с. • Липский В. Комбинаторика для программистов. - М. : Мир, 1988. • Пестунова Т. М. Введение в комбинаторику: Учебное пособие / Красноярск: КГТУ, 2001. – 96 c. • Богульская Н. А. , Пестунова Т. М. Дискретная математика. Основы теории графов: Учебное пособие/ Красноярск: КГТУ, 2004. • Лавров И. А. , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов / М. : Наука, 1984. – 224 с. • Оре, О. Теория графов. – М. , Наука, 1980. – 336 c. 2

1. 2. Операции над множествами Сравнение множеств: A=B (эл-ты совпадают); (каждый эл-т А есть эл-т В); А - подмножество В. Если , А – собственное или строгое подмножество В. По определению ø ; M . Два мн-ва равны, если они являются подмн-вами друга: Мощность конечного мн-ва – число его эл-тов - |ø|=0. Мн-ва равномощны - |A|=|B|. Операции над мн-вами: объединение пересечение разность симметрическая разность дополнение 3

Диаграммы Эйлера-Венна 4

Свойства операций над множествами 1. Идемпотентность 2. Коммутативность 3. Ассоциативность 4. Дистрибутивность 5. Поглощение 6. Св-ва нуля ø = ø. 7. Св-ва единицы 8. Инволютивность 9. Законы де Моргана 10. Свойства дополнения 11. Свойства разности ø. 5

Прямое произведение множеств А и В - . . Пример. - множество координат точек плоскости. Прямое произведение называют декартовым. 6

1. 3. Мощности множеств Мн-во всех подмн-ва М называют булеаном и обозначают . Теорема. Для конечного мн-ва Док-во: (по индукции) 1. ø. 2. Предположим верно Рассмотрим Обозначим ø. Мн-ва, равномощные N называются счётными 7

Теорема Кантора Т. Мн-во всех действительных чисел отрезка [0, 1] не является счётным. Док-во. (от противного) Предположим, что существует нумерация. Расположим все числа, представленные десятичными дробями в порядке нумерации. … Рассмотрим дробь такую, что и т. д. Эта дробь не равна ни одному из чисел последовательности. Это противоречит предположению. Ч. т. д. Мощность мн-ва чисел отрезка [0, 1] называется континуум. Равномощные ему множества – континуальные. Множество всех подмножеств счётного множества континуально. 8

1. 4 Отношения - один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Определение. Подмножество R называется n-местным отношением на множестве А. При этом говорят, что элементы a 1 , a 2 , . . . , a находятся в отношении R, если n - прямое произведение множеств. (a 1, a 2, . . . , an) . Для n = 1 - одноместное отношение, для n = 2 - двухместное, для n = 3 – трехместное и т. д. Одноместные (унарные) отношения – подмн-ва А. Они отражают наличие какого-то признака R у элементов мн-ва A. Пример унарного отношения Подмн-во четных чисел Nчетн на мн-ве N. Двухместные (бинарные) отношения используются для определения взаимосвязей пар элементов в множестве А. Пример бинарного отношения 9 Отношение строгого неравенства (a > b) на мн-ве N.

Примеры отношений на конечном множестве А = {1, 2, 3, 4, 1. Одноместное отношение: R - нечетные элементы А. R = {1, 3, 5} 2. Двухместное отношение: R - отношение равенства. R={(a, b): a=b, a, b A}. R= = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5)}. 3. Трехместное отношение: R - отношение суммы R = {(a, b, c): a + b = c, a, b, c A}. R+ = {(1, 1, 2); (1, 2, 3); (1, 3, 4); (1, 4, 5); (2, 1, 3); (2, 2, 4); (2, 3, 5); (3, 1, 4); (3, 2, 5); (4, 1, 5)}. Отношения могут быть заданы и на множествах разной природы: R M 1 M 2 . . . Mn. При этом элементы (a 1 , a 2 , . . . , a n ), находящиеся в отношении R, принадлежат соответственно a 1 1, a 2 M 2, . . . , an Mn). M 10

Бинарные отношения Для R рассмотрим: а) область определения: б) область значений: в) обратное отношение: г) композицию (для отношений R 1 и R 2): 11

Способы задания бинарных отношений 1. Списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется. 2. Матрицей - бинарному отношению , где А={a 1, a 2, . . . , an } , соответствует квадратная матрица S порядка n , в которой элементы sij принимают два возможных значения: Пример. Пусть А = {1, 2, 3}. Задать матрицей отношение: 12