Разбор задач 26. 12. 2016
Областная олимпиада 2005 года ЗАДАЧА 1. НЕЗНАЙКА УЧИТЬСЯ СЧИТАТЬ
Постановка задачи • Дана строка, состоящая из цифр; • Найти такую подстроку, которая представляет собой последовательность подряд идущих натуральных чисел и является самой длинной по количеству чисел.
Решение • Перебираем начальную позицию, с которой начинается искомая последовательность; • Перебираем длину начального числа; • Прибавляем единицу к начальному числу и проверяем следующее; • Проделываем тоже самое до тех пор пока строка не закончится либо число не будет удовлетворять последовательности; • Сложность решения O(|S|3).
Трудности • Прибавление единицы к длинному числу (представленному в виде массива); • 0 не является натуральным числом;
Областная олимпиада 2005 года ЗАДАЧА 2. ПОВРЕЖДЕННАЯ КАРТА
Постановка задачи • Дан двумерный массив, состоящий из нулей и единиц; • Найти наибольший по площади квадратный подмассив, который состоит из единиц; • Вычислить площадь найденного подмассива.
Решение • Задача решается с помощью динамического программирования; • Пусть A – исходный массив, D – массив состояний ДП; • D[i][j] – максимальная площадь квадрата из единиц, правая нижняя вершина которого находится в точке (i, j); • Если клетка (i, j) повреждена, то D[i][j] = 0; • Если не повреждена D[i][j] = min(D[i – 1][j], D[i][j – 1], D[i – 1][j – 1]) + 1; • Первая строка и первый столбец заполняются отдельно D[1][j] = A[1][j] и D[i][1] = A[i][1]; • Сложность решения O(N * M);
Региональная олимпиада РФ за 2012 год ЗАДАЧА 3. ABRACADABRA
Постановка задачи • Дан набор строк s 1, s 2, s 3, …, sm; • Для каждой из строк si определить сколько слов из словаря t 1, t 2, …, tn имеют суффикс и префикс равный si; • iй суффикс – это последние i символов строки t; • iй префикс – это первые i символов строки t;
Решение • Преобразуем каждую строку t, состоящую из n символов к виду: t 0 tn-1 t 1 tn-2 … tn-2 t 1 tn-1 t 0 • Например слово table будет преобразовано в tealbblaet • Отсортируем преобразованный словарь в лексикографическом порядке; • Таким образом, все слова с одинаковым супрефиксом идут подряд;
Решение (1) • Для каждой из строк s проделаем аналогичное преобразование; • Двоичным поиском найдем самое левое вхождение (left) и самое правое вхождение (right); • Тогда ответом для строки si будет right – left + 1; • Сложность решения O(n * Log(m));
Пример • Пусть задан набор строк из примера задачи; • Тогда строки будут преобразованы следующим образом: abacaba => aabbaaccaabbaa; abracadabra => aabrrbaacdaadcaabrrbaa; aa => aaaa; abra => aabrrbaa;
Пример (1) • Отсортируем словарь в лексикографическом порядке: aaaa aabbaaccaabbaa aabrrbaacdaadcaabrrbaa • Для образца a (aa) left = 1, right = 4, ответ = 4; • Для образца abra (aabrrbaa) left = 3, right = 4, ответ = 2; • Для образца abac (acbaabca) left = -1, right = -1, ответ = 0;
USACO Open 2001 ЗАДАЧА 4. ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ
Постановка задачи • Задан неориентированный граф из N вершин и M ребер; • Каждое из ребер необходимо восстановить за время t и потратив на это c денежных единиц; • Задача состоит в том, чтобы восстановить ребра таким образом, чтобы граф оказался связным; • При этом обещано вознаграждение F за выполненную задачу; • Требуется вычислить максимально возможную прибыльность (т. е. количество денег, которые можно заработать за час работы);
Решение • Допустим, что нам известна прибыльность работ v; • Тогда очевидно, что мы можем вычислить стоимость каждого из ребер как t * v + c: первое слагаемое – полученная прибыть, второе – стоимость восстановления дороги; • В этом случае мы можем построить минимальное остовное дерево и если его стоимость меньше вознаграждения F, то такая прибыльность нам подходит;
Решение (1) • Заметим, что если увеличивать прибыльность v, то и стоимость дерева будет расти; • Следовательно, cost(v) – возрастающая (монотонная функция); • Таким образом, v можно перебирать двоичным поиском; • Найденное оптимальное значение прибыли и будет ответом; • Сложность решения O(Log(C * M) * M * Log(M));
