Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях Применение теории

Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях Применение теории игр в политике и экономике © Рей А. И. , 2004 -2006

Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях • У игр в нормальной форме может и не быть равновесия по Нэшу в чистых стратегиях: Игра «Недоросль» Митрофанушка УЧИТЬСЯ Родители НЕ УЧИТЬСЯ ПОМОГАТЬ (3; 2) (-1; 3) НЕ ПОМОГАТЬ (-1; 1) (0; 0)

Решение проблемы • На практике (игра «Недоросль» ) – изменить правила игры, улучшить контроль и мотивацию (платежи). • В теории – ввести понятие смешанной стратегии.

Смешанная стратегия df Вероятностное распределение на пространстве действий игрока NB для каждого информационного множества Число действий: • конечно (счетно) дискретное распределение (Камень – ¼; Ножницы – ¼; Бумага – ½) • несчетно непрерывное распределение

Теорема Нэша (1950) Ref J. F. Nash. Equilibrium Points in N-Person Games. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 36, pp. 48– 49. 1950. У каждой конечной игры существует равновесие в смешанных стратегиях

Расчет равновесия в смешанных стратегиях • Алгебраический метод – оптимизация – уравнения безразличия • Графический метод

Алгебраический метод

Алгебраический метод

Игра 2 лиц в НФ: исходы Б Б 1 : β А Б 2 : (1 -β) A 1 : α αβ α (1 -β) A 2 : (1 -α) (1 - α)β (1 -α)(1 - β)

Алгебраический метод • Уравнения безразличия: – удалить те стратегии каждого игрока, которые доминируются другими стратегиями – в равновесии в смешанных стратегиях игроку (скажем, А) безразлично, какую чистую стратегию играть, если игрок Б придерживается оптимальной смешанной стратегии – приравнять другу ожидаемые платежи от чистых стратегий игрока А – найти из системы вероятность чистой стратегии игрока Б – повторить то же самое по аналогии для игрока Б

Алгебраический метод

Смысл смешанной стратегии в однократной игре • «Неужели нужно в самом деле бросать монету? » – Теория влияет на поведение – Ненаблюдаемые психологические факторы как источник случайности • Равновероятные действия • Слишком много равновесий – Проблема выбора не решена – Симметричные равновесия — интуитивно понятные и относительно устойчивые

Криптография • Противник не дремлет • ENIGMA (~1920– 1945, «дружественные» США державы — до 1960 -х гг. ) – предсказуемость и шаблонность текстов – зашифровка одного текста двумя ключами – M-209, Typex, «красный» , «пурпурный» • Venona (1941– 1945) – одноразовый блокнот использовался несколько раз • РАНДОМИЗИРУЙТЕ!

Корпус морской пехоты США • «…мы должны действовать по осям, которые предполагают несколько вариантов поведения, держа противника в неведении относительно того, какой вариант мы выберем. » FMFM 1 (Warfighting), United States Marine Corps, 1989.

Задания на дом • Решить «камень–ножницы–бумага» двумя алгебраическими способами • Найти равновесие в смешанных стратегиях (см. след. слайд)

Задания на дом Б Б 1 Б 3 А 1 А Б 2 0; 4 2; 2 0; 4 А 2 2; 12 0; 8 4; 2 А 3 10; 0 0; 4 2; 2