Равносильные формулы логики предикатов Правила вывода Равносильные

Равносильные формулы логики предикатов. Правила вывода

Равносильные формулы. Определение: Две формулы F 1 и F 2 логики предикатов называются равносильными на множестве M, если при любой подстановке в эти формулы вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, определенных на M, эти формулы превращаются в равносильные предикаты (F 1+ = F 2+). Если формулы F 1 и F 2 равносильны на любых множествах, то они называются просто равносильными (F 1 = F 2). В частности, все ТИ формулы (тавтологии) равносильны, и все ТЛ формулы равносильны.

Пример неравносильных формул Формулы ( x)(P(x) Q(x)) ≠ ( x)(P(x)) ( x)(Q(x)). Подставим вместо предикатных переменных P(x) и Q(x) конкретные предикаты A(x) и B(x), определенные на множестве N, где A(x) есть "x четное", а B(x) есть "x нечетное". Тогда правая формула превращается в истинное высказывание «существует четное натуральное число и существует нечетное натуральное число» . Левая формула превратится в ложное высказывание «существует натуральное число, которое четное и которое нечетное» .

Наиболее важные равносильные формулы логики предикатов Из определения равносильных формул следует, что F 1 = F 2 тогда и только тогда, когда формула F 1 ↔ F 2 есть тавтология. Поэтому из ранее полученных тавтологий получаем: 1. 2. 3. 4.

Наиболее важные равносильные формулы логики предикатов 5. 6. 7. 8. Формулы 5 8 имеют место, если формула Q не содержит x. 9. ( x)( y)(P(x, у)) = ( y)( x)(P(x, у)). 10. ( x)( y)(P(x, у)) = ( y)( x)(P(x, у)).

Наиболее важные равносильные формулы логики предикатов Равносильности, связанные с заменой переменных: ( x)(F(x)) = ( y)(F(y)). 12. ( x)(F(x)) = ( y)(F(y)). 11. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно, поэтому можно заменять одну равносильную формулу другой. В процессе равносильных преобразований можно использовать равносильности , известные из алгебры высказываний.

Приведенная формула логики предикатов (ПФ) Определение. Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются только операции , и отрицания −, причем знаки отрицания − относятся лишь к предикатным переменным и высказываниям. Теорема 1: для каждой формулы логики предикатов существует приведенная форма. Теорема доказывается методом полной математической индукции по числу логических связок , с использованием равносильностей 1− 12, законов Моргана и замены операций , ↔ операциями и .

Примеры записи формул в приведенной форме 1. Найти равносильную приведенную форму для формулы: Решение: 2. Найти равносильную приведенную форму для формулы: F(x, y) = Решение: F(x, y) = = =

Предваренная форма формулы логики предикатов (ПНФ) Определение. Предваренной нормальной формой для формулы логики предикатов называется такая ее приведенная форма, в которой все кванторы стоят в начале, а область действия каждого из них распространяется до конца формулы. ПНФ − это формула вида: (K 1 x 1), …, (Kmxm)(F(x 1, …, x 1)), где Ki есть один из кванторов или (i= 1, …m, m ≤ n), причем формула F не содержит кванторов и является приведенной формулой. Пример:

Существование ПНФ для формулы логики предикатов Теорема 2. Для каждой формулы логики предикатов существует ПНФ. Теорема доказывается методом полной математической индукции по числу операций , , , применяемых к предикатным переменным. Если формула атомарна (состоит из одного предиката), то она представляет предваренную форму. Нужно научиться находить предваренные нормальные формы для формул , (F 1 F 2) , если известны предваренные нормальные формы F*, F 1* и F 2* формул F, F 1 и F 2 соответственно.

Приведение формулы логики предикатов к предваренной форме Для того, чтобы построить ПНФ для всякой формулы логики предикатов достаточно выполнить дейcтвия: 1. Заменить операции и ↔ операциями , , , используя равносильные преобразования. 2. Используя равносильные преобразования, вынести кванторы из под операций отрицания. 3. Используя законы Моргана, отнести отрицания к предикатным переменным. 4. Используя равносильные преобразования, убрать кванторы в начало формулы, применяя, в случае необходимости, переименование переменных.

Пример записи формул в предваренной форме 1. Найти равносильную предваренную форму для формулы: Решение: 2. Найти равносильную предваренную форму для формулы: F(x) =

Решение примера 2

Пример 3 3. Найти равносильную предваренную форму для формулы:

Решение примера 3

Применение ПНФ к записи математических определений и их отрицаний Задача: написать определение монотонно возрастающей функции на отрезке [a, b], в виде формулы логики предикатов и его отрицание. Функция f(x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a, b], если для любых x, y из неравенства x < y следует , что f(x) f(y). На языке логики предикатов это запишется так (с помощью ПНФ): Напишем отрицание этой формулы: Осталось записать эту формулу в ПНФ.

Логическое следование формул логики предикатов Определение. Формула G логики предикатов называется логическим следствием формул F 1, F 2 … Fn если при всякой интерпретации, при которой формулы F 1, F 2 … F n принимают значение истина, формула G также принимает значение истина. Этот факт обозначается: F 1, F 2, …, Fn |=G. Формулы F 1, F 2 … Fn называют посылками, а формулу G − заключением.

Свойства логического следствия 1. F 1, F 2, …, Fn |= Fi, i = 1, 2, …, n. 2. Если F 1, F 2, …, Fn |= Gi, для i = 1, 2, …, t, и если G 1, G 2, …, Gt |= H, то F 1, F 2, …, Fn |= H. 3. Если F 1, F 2, …, Fn |= G и G = H, то F 1, F 2, …, Fn |= H. 4. F 1, F 2, …, Fn |= G F 1 F 2 … Fn G является общезначимой формулой. 5. F 1, F 2, …, Fn |= G, F 1, F 2, …, Fn-1 |= Fn G (теорема дедукции). Две формулы равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой.

Правила вывода в логике предикатов

Правила вывода в логике предикатов