РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Использованы материалы методического журнала Математика

РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Использованы материалы методического журнала «Математика» № 17 Разработчики: Киншт М. , Тропина А. – лицеисты группы 11 -2 Инженерного лицея НГТУ Февраль 2012 г

Цель занятия: научиться находить расстояния: -между точками; -от точки до прямой; -от точки до плоскости; -между скрещивающимися прямыми.

Для успешного решения задач повторите определения указанных расстояний и следующие теоремы: - о перпендикулярности прямой и плоскости, - о перпендикулярности плоскостей, - о трех перпендикулярах, - о перпендикулярности двух параллельных прямых плоскости, - о параллельности двух прямых, перпендикулярных одной плоскости, - о параллельности прямой и плоскости, - о параллельности плоскостей. Повторить определения и теоремы можно по любому учебнику геометрии (стереометрия) для 10 -11 классов.

Простейшие задачи

ЗАДАЧА № 1 Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 2. Найти расстояние между точками В 1 и М, где М – середина ребра АD.

Дано: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб а=2 РЕШЕНИЕ: 1) Соединим точки В 1 и М и спроецируем отрезок МВ 1 на плоскость АВС (АВСD). Найти: В 1 М - ? 2)Получим прямоугольный треугольник ВАМ ( А=90 °, т. к. в основании квадрат) 3) Применим теорему Пифагора к треугольникам ВАМ и В 1 ВМ: а Ответ: 3.

ЗАДАЧА № 2 Ребро куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 2. Найти расстояние от точки D 1 до прямой АС.

Дано: Решение: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб а=2 1)Проведем диагонали куба и обозначим точку их пересечения через О. 2) Соединим точку D 1 с точками А, С ( точки А и D 1 Є плоскости АА 1 D 1 D, точки С и D 1 Є плоскости D 1 DCC 1) 3)Соединим точки D 1 и О. 4)Из треугольника D 1 DO найдем D 1 O: Треугольник D 1 DO – прямоугольный ( угол D 1 DO=90°( по теореме о трех перпендикулярах)) DO – радиус описанной окружности АВСD => Найти: D 1 О - ? О а По Теореме Пифагора Ответ:

ЗАДАЧА № 3 Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 2. Найти расстояние от точки М, середины ребра СC 1, - до плоскости DBB 1.

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб а=2 РЕШЕНИЕ: 1)AC перпендикулярна плоскости BDD 1 В 1 Найти: О 2 М 2)В плоскости CAA 1 C 1 проведем MO 2 IIAC. MO 2 перпендикулярна BDD 1. Следовательно MO 2 – искомое расстояние. 3) CO=MO 2 (Как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями) О Ответ:

ЗАДАЧА № 4 Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 2. Найти расстояние между прямыми D 1 C и AA 1

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб а=2 Найти: Расстояние между прямыми D 1 C и АА 1 Решение: 1)D 1 C и AA 1 – скрещивающиеся прямые( по определению: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости) 2)AD перпендикулярна АА 1 (т. к. у куба все углы прямые) 3)AD перпендикулярна плоскости DD 1 C 1 C (т. к. AD перпендикулярна DD 1, DD 1 принадлежит плоскости DD 1 C 1 C) 4)AD перпендикулярна С 1 D 1 ( по свойству параллельных прямых( AD перпендикулярна CD, CDIIC 1 D 1)) 5)AD – искомое расстояние. Ответ: AD=2

ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗ ЧАСТИ С 2 ЕГЭ

ЗАДАЧА № 1 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны1. Найти расстояние от точки С 1 до ВD 1.

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб а=1 Найти: С 1 Н-? Решение: 1) Из точки С 1 проведем перпендикуляр к прямой BD 1. СН – искомое расстояние. 2) В треугольнике АBD: 3) В треугольнике BD 1 D: DD 1=1; ; 4) В треугольнике BC 1 D 1: C 1 D 1=1; ; По теореме о среднем пропорциональном: Н 5)В треугольнике C 1 HD: а Ответ:

ЗАДАЧА № 2 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки В 1 до плоскости А 1 ВС 1.

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб а=1 Найти: В 1 О -? Решение: 1) Проведем из точки В 1 прямую, перпендикулярную плоскости А 1 ВС 1 (В 1 О) 2) В треугольнике А 1 ВС 1: Þ 1 ВС 1 – правильный. А ОВ- радиус описанной окружности: о 3) В треугольнике В 1 ОВ:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1)В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро равно 1. О 1 точка пересечения диагоналей верхней грани. Найти расстояние от О 1 до прямой ВС. 2) В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро равно 1. Найти расстояние от точки М – середины ребра ВВ 1 – до плоскости АСС 1.

3) В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки Е и F так, что Найти длину отрезка EF. 4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 2. Найти расстояние от точки С до прямой E 1 F 1.