Распространение волн в нелинейной среде Общий вид волнового

Распространение волн в нелинейной среде Общий вид волнового уравнения в нелинейной среде: Предположим , что можно разложить по плоским волнам: ( , ), ( , )t t. E r P r Амплитуды поля и компонент нелинейной поляризации – не зависят от времени (проблема описания нестационарных нелинейных процессов вынесена за скобки)

Распространение волн в нелинейной среде Вспомнив, что исходное волновое уравнение запишется в виде системы уравнений Замечания: 1. 1. В общем виде, нелинейная поляризация определяется всеми полями 2. 2. Это означает, что перед нами система связанных уравнений 3. 3. Связанность уравнений означает перераспределение энергии между различными компонентами поля 4. 4. Частоты справа и слева 0 динаковые, а волновые вектора могут быть разными (закон сохранения энергии в стационарном случае и возможность нарушения закона сохранения импульса) ( ) NL P( , ) n n n. E k

Связанные волны в нелинейной среде Рассмотрим пример трехволнового процесса сложения частоты Участвуют три волны, Ограничиваясь дипольным приближением, рассматриваем только компоненты квадратичной поляризации вида( 2) ( ) : ( , ) l l m n m m n n P E k а компоненты квадратичной восприимчивости подчиняются следующим перестановочным соотношениям:

Связанные волны в нелинейной среде Система связанных уравнений для трехволнового процесса примет вид:

Энергия поля в нелинейной среде Из уравнений Максвелла можно получить, что скорость истечения энергии из единицы объема равна скорости убыли плотности запасенной в нем электромагнитной энергии Записав полную поляризацию среды в виде можно ввести мгновенную плотность энергии электромагнитной волны в нелинейной среде:

Энергия поля в нелинейной среде Тогда соотношение можно записать в виде Усредненное по времени выражение будет выражать закон сохранения энергии в нелинейной среде: 4 с U t

Приближение медленно меняющихся амплитуд Приближения, упрощающие жизнь: 1. 1. приближение бесконечных плоских волн 2. 2. приближение заданной интенсивности накачки 3. 3. приближение заданного поля 4. 4. приближение медленно меняющихся амплитуд Рассмотрим электромагнитную волну в нелинейной среде в виде для простоты – распространяющуюся вдоль оси zz Амплитуда волны – функция, зависящая от координаты из-за нелинейного взаимодействия Предположим, что зависимость амплитуды от координаты слабая:

Приближение медленно меняющихся амплитуд Разделив поле на продольную и поперечную компоненты, волновое уравнение запишется в виде двух уравнений: тогда, используя: получим:

Приближение медленно меняющихся амплитуд Физический смысл приближения – пренебрежение обратной волной нелинейного сигнала. Действительно, рассмотрим волновое уравнение в изотропной пластине 2 2 24 ( , ) NLz z z c c E P Будем решать методом функций Грина. ФГ определяется как решение уравнения 2 2 ( , ‘)G z z z c ФГ для однородной пластины принимает вид ( ‘)1 , ‘ 2 ( , ‘) 1 , ‘ 2 ik z ze z z i k G z z e z z i k

Приближение медленно меняющихся амплитуд Решение волнового уравнения ищем в виде ‘ 2 2 ‘ 0 0 4 ( , ) ( ‘) ( , ‘) ‘ ‘ ‘ z l l NL z. G z z dz G z z c E E P E Подставляя выражение для ФГ: Записав поле внутри пластины как суперпозицию двух разбегающихся волн ( ) ( , ) ( ) i kz t F Bz z e E E E 2 ( ‘) 2 0 ‘ ‘ 02 ( , ) ( ‘) ‘ ‘ ‘ z l NL ik z z z z l zz z e dz ikc G G z z E P P E E и граничные условия на гранях пластины в виде 0, 0 F Bz z E E (постоянство амплитуд вне нелинейной пластины)

Приближение медленно меняющихся амплитуд получаем: ‘ ( ) ‘ 0 (0) ( ) ‘ ‘ z l i kz t F B z. G G e l e z z E E Окончательно: Но это есть решения двух дифференциальных уравнений 2 ( ‘ ) 2 0 2 ( ‘ ) 22 ( ) (0) ( ‘) ‘, 2 ( ) ( ‘) ‘ z NL i kz t F F l NL i kz t B B zz i z e dz kc z l i z e dz kc E E P что соответствует уравнениям ММА с 2 ( ) 2 2 ( , ) , 2 ( , ) NL i kz t F NL i kz t B i z e zkc E P

Генерация суммарной частоты в полубесконечной среде В задаче о генерации суммарной частоты участвуют три связанные волны, 1 2 3( ), ( ) E E E каждая из которых раскладывается на две компоненты, ( ) ( ) i i i E E EP удовлетворяющим волновому уравнению гдегде

Генерация суммарной частоты в полубесконечной среде В приближении: — бесконечных плоских волн — заданной интенсивности накачки — полубесконечности среды с плоской границей — кубичности (изотропности) среды1 2( ), ( ) E E уравнения для линейны. Записав волны накачки в виде а квадратичную поляризацию в виде ( 2) 3 3( ) exp[ ( )] s. P i t P k r r третье связанное уравнение будет иметь решение в виде и состоит из двух волн, связанной и свободной, с волновыми векторами 3 1 2 3 , s T T T k k

Генерация суммарной частоты: граничные условия для тангенциальных компонент:

Генерация суммарной частоты: граничные условия для тангенциальных компонент: то же самое с углами:

Генерация суммарной частоты: фазовый синхронизм Запишем поле на суммарной частоте в виде тогда в рамках приближения ММА где расстройка волновых векторов Решение укороченных уравнений запишется в виде

Генерация суммарной частоты: фазовый синхронизм. Интенсивность волны на суммарной частоте полная мощность волны определяется интегрированием по пучку: при малой расстройке, 3 1 k k , можно считать, что 3 / / 3 T TE E r r и интенсивность волны на суммарной частоте запишется в виде при выполнении условия фазового синхронизма, 0 k а полуширина между первыми нулями (ширина синхронизма)