Распределения непрерывных случайных величин Непрерывная случайная величина

Распределения непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина Случайную величину назовем непрерывной, если ее функция распределения не имеет скачков и разрывов. Непрерывной называется случайная величина , функцию распределения которой F(x) можно представить в виде Функция p(x), которая является производной от функции распределения называется плотностью распределения (вероятностей) случайной величины . Если F(x) дифференцируема, то ее плотность равна:

Пример функции и плотности непрерывной величины Р (х) F(х) 1 1/2 /2 х T 0 x T 0 Плотность распределения Функция распределения экспоненциального распределения

Свойства плотности распределения Свойство № 1: плотность распределения непрерывной случайной величины неотрицательная функция, поскольку она является производной от функции распределения, а функция распределения — неубывающая

Свойства плотности распределения Свойство № 2: площадь, целиком заключенная под кривой плотности распределения, равна единице.

Свойства плотности распределения Свойство № 3: Для любого t, принадлежащего R, справедливо

Свойства плотности распределения Свойство № 4: вероятность попадания случайной величины на интервал [x 1, x 2] числено равна площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией плотности распределения Р

Непрерывные функций распределения 1. Функция равномерного распределения Используется как «первая» модель величины, которая случайно изменяется между а и b, но о которой больше почти ничего не известно F(x) 1 a x b Х

Плотность равномерного распределения при a=1, и b=5 равна p(x)=0, 25

Задание из тестирования ЗАДАНИЕ N 24 Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке (1, 3). Тогда случайная величина Y=3 X+1 имеет… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) нормальное распределение на отрезке (3, 9) 2) равномерное распределение на отрезке (4, 10) 3) другой (кроме равномерного и нормального) вид распределения 4) нормальное распределение на отрезке (5, 14) Решение: Y=3 Х+1 – это случайная величина, которая линейно зависит от равномерно распределенной случайной величины Х. Поскольку Х распределена равномерно, а Y – линейная функция, то и Y будет распределена равномерно. Интервал для Y можно определить подставив границы Х (1, 3) в функцию Y, значит интервал распределения Y будет (4, 10).

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (x 1, x 2), лежащий внутри отрезка (a, b), равна F(x 2) - F(x 1) = (x 2 -x 1)/(b-a), то есть пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a, b]. Y Р(Х) a x 1 x 2 b x

Экспоненциальное распределение используется в тех случаях, когда интервал времени между поступлениями требований в систему, происходящими с постоянной интенсивностью. Функция экспоненциального распределения имеет вид: Функция экспоненциального распределения 1 F(X) 1/2 T 0 x

Экспоненциальное распределение Экспоненциально распределенная случайная величина может принимать только положительные значения. Экспоненциальному распределению подчинено время распада атомов различных элементов. При этом число Т = 1/ носит название среднего времени распада. Кроме того, употребляется также число T 0 = ln 2/ называемое периодом полураспада. Экспоненциально распределенная случайная величина обладает свойством — отсутствием последействия. Это можно трактовать как независимость поведения случайной величины в момент времени x+ x от того, что с ней произошло до этого момента. Распределению подчиняются сроки безотказной службы технических устройств.

Плотность экспоненциального распределения - интенсивность поступления требований в систему постоянная

Нормальное распределение (К. Гаусса) Нормальное распределение возникает обычно в явлениях, подверженных действию большого числа “малых” случайных воздействий. Большинство событий в реальной жизни подчиняются этому распределению. Если исследовать генеральную совокупность студентов Ма. ГУ, измеряя их рост, вес или коэффициент интеллекта, то скорее всего мы получим нормальное распределение. То есть, людей со средним ростом, весом и уровнем интеллекта намного больше, чем всех остальных.

Нормальное распределение зависит от двух параметров: m - математическое ожидание или среднее значение нормального закона; - среднее квадратичное отклонение. Параметр m определяет положение центра нормальной плотности, а — разброс относительно центра. Если m = 0, = 1, то такой нормальный закон называется стандартным и его функция распределения обозначается через Ф(х).

Плотность нормального распределения

Задание из тестирования Приведены графики плотностей распределения четырех непрерывных случайных величин. Выберите из них плотность нормального распределения. a) c) b) d)

Задание из тестирования Закон распределения вероятностей для нормально распределенной случайной величины имеет форму: Определите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Решение: закон нормального распределения выглядит так: Тогда мат ожидание m=5, а среднее квадратичное отклонение =3

Задание из тестирования Закон распределения вероятностей для нормально распределенной случайной величины имеет форму: Определите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Решение: закон нормального распределения выглядит так: Тогда мат ожидание m= -7, а среднее квадратичное отклонение =1, 5

Задание из тестирования На графике представлена плотность нормального распределения. Определите математическое ожидание для этой случайной величины. Ответ: m=6

Распределение Вейбулла Семейство распределений Вейбулла является двухпараметрическим и описывает положительные случайные величины. Считается, что распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. Если =1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если =2 - в так называемое распределение Релея.

Распределение Вейбулла Функция распределения Плотность распределения Параметры = 0, 5. . 2 и = 0, 5. . 2

Гамма-распределение gamma( , ) n Другим распределением, также достаточно хорошо описывающим времена безотказной работы различных технических устройств, является гамма-распределение. n Время выполнения какой-либо задачи, например обслуживания клиента или ремонт машины Плотность Гамма-распределения > 0 — параметр формы, > 0 — параметр масштаба

Гамма-распределение n Свойства гамма-функции: Г( +1) = Г( ) и Г(n) = (n-1)! Для целых n. n Если = k/2 - полуцелое, а = 1/2, то гамма -распределение превращается в так называемое распределение 2(хи-квадрат). Параметр k - называется в этом случае числом степеней свободы распределения 2.

Логнормальное распределение LN( , 2) Время выполнения какой-либо задачи; величины, являющиеся произведением большого числа других величин распределение плотность Конечная форма отсутствует — параметр положения, > 0 — масштабный параметр Функция плотности распределения

Бета-распределение beta( 1, 2) Используется как приблизительная модель при отсутствии данных; распределение случайной доли бракованных товаров в партии; время выполнения задачи в сетевом графике распределение плотность Конечная форма отсутствует 1>0 , 2>0 параметры формы Плотность Бета-распределения

Треугольное распределение Triang(a, b, c) • Используется как приблизительная модель в отсутствии данных 1. 1 • наиболее вероятное время ответа на запрос близко к 0 с; • минимальное вероятное время ответа не менее 0 с; • максимальное вероятное время ответа не превышает 15 с;