RAR 3230 DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP Введение Учебные материалы: Основной учебник: • Diskreetne matemaatika (H. Lensen. , M. Kruus. Tallinn, 2003. ) Дополнительная литература: • Diskreetse matemaatika elemendid (R. Palm, TÜ, 2003) • Graafid (A. Buldas, P. Laud, J. Villemson, TÜ, 2003) • Diskreetne analüüs (J. Henno, TTÜ, 1991) www-страница предмета, читаемого в ТТУ : • http: //www. pld. ttu. ee/~kruus/diskmat/
На русском языке: • лекции доцента ТТУ Александра Судницына http: //www. pld. ttu. ee/~alsu/IAY 0010. html • Домашняя страница УГТУ по предмету Дискретная математика http: //ait. ustu. ru/disciplines/discret/el_ucheb/ • Дискретная математика. Кулабухов С. Ю. http: //www. allmath. ru/higheralgebra. htm • Видеокурс Дискретная математика на INTUIT. RU http: //www. intuit. ru/department/ds/discretemath/ • Курс Основы дискретной математики на INTUIT. RU http: //www. intuit. ru/department/ds/discrmath/
МАТЕМАТИКА ДИСКРЕТНАЯ антоним НЕПРЕРЫВНАЯ входят в данный курс изучаемые разделы: · логика высказываний · математическая логика · теория множеств · теория графов · комбинаторика · криптология · теория алгоритмов · теория автоматов · и т. д. … входят все области математики, которые занимаются непрерывными функциями (графики которых – непрерывные кривые, аргументы – действительные числа): • математический анализ • дифференциальное исчисление • интегральное исчисление
Двоичная система счисления Позиционная система счисления - система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда). Основанием системы счисления k называется количество различных символов (цифр), используемых для записи чисел в данной системе счисления. Десятичная система: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (основание k = 10) Двоичная система: 0, 1 (основание k = 2) Шестнадцатиричная система: 0, 1, …, 8, 9, A, B, C, D, E, F (основание k = 16) Наибольший интерес для информатиков представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16.
В позиционной системе счисления каждый разряд числа имеет свой вес, который связан со степенью основания: an an-1 an-2…. . . a 1 a 0 , a-1 a-2 …. . . a-m - веса kn kn-1 kn-2…. . . k 1 k 0 , k-1 k-2…. . . k-m- степени основания Если основание равно k, то ki = k i Развернутой формой записи числа называется запись в виде Аk = а n-1 k n-1 + а n-2 k n-2 +. . . + а 0 k 0 + а -1 k -1 + а -2 k -2 +. . . + а –m k -m, где Аk - само число, k - основание системы счисления, аi - цифра данной системы счисления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа.
Примеры: 537, 610 = 5*102 + 3*101 + 7*100+ 6*10 -1 1101, 112=1*23+1*22+0*21 + 1*20+ 1*2 -1 + 1*2 -2 = 13, 7510 A 6, E 16= 10*161 + 6*160+ 14*16 -1 =166, 87510 , где A = 10 и E = 14
Преобразования • Из 10 -ой системы в 2 -ую Целая и дробная части преобразуются отдельно. • При преобразовании целой части необходимо делить число на основание новой системы счисления (т. е. 2), до тех пор, пока частное больше нуля, выделяя на каждом шаге целую часть деления и остаток. • Запись числа происходит в направлении снизу вверх. Пример: a) 2510 = ? 2 целая часть остаток 25 : 2 = 12 1 (a 0) 12 : 2 = 6 0 (a 1) 6 : 2 = 3 0 (a 2) 3 : 2 = 1 1 (a 3) 1 : 2 = 0 1 (a 4) 2510=110012 b) 3710= ? 2 c) 10510= ? 2
Очень важно запомнить в ближайшее время представление в двоичной системе чисел от 0 до 15. 010 = 02 110 = 12 210 = 102 310 = 112 410 = 1002 510 = 1012 610 = 1102 710 = 1112 810 = 10002 910 = 10012 1010 = 10102 1110 = 10112 1210 = 11002 1310 = 11012 1410 = 11102 1510 = 11112
• При преобразовании дробной части необходимо последовательно умножать данную дробную часть на основание новой системы счисления (т. е. 2), выделяя на каждом шаге целую и дробную части произведения до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления. • Запись числа происходит в направлении сверху вниз. Пример: a) 0, 610 = ? 2 дробная часть целая часть 0, 610= 0, 100112 (точность 5 знаков после запятой) 0, 6 0 (a 0) 0, 6* 2 = 0, 2 1 (a-1) 0, 2* 2 = 0, 4 0 (a-2) 0, 4* 2 = 0, 8 0 (a-3) b) 0, 410= ? 2 (точность 7 знаков после запятой) c) 0, 2310= ? 2 (точность 5 знаков после запятой) 0, 8* 2 = 0, 6 1 (a-4) 0, 6* 2 = 0, 2 1 (a-5)
Замечание 1: дроби в общем случае не преобразуются точно, точность оценивается весом последнего вычисленного разряда. Замечание 2: при преобразовании смешанных чисел целая и дробная части преобразуются отдельно, а затем соединяются. 25, 610= 11001, 100112
Гл. I. Математическая логика 1. Логика высказываний (математическая модель логического мышления) Определение 1. 1 Каждое предложение, для которого имеет смысл говорить о соответствии этого предложения действительности, называют (простым) высказыванием. Если высказывание соответствует действительности, то назовем это высказывание истинным, в противном случае – ложным. Т. о. каждому высказыванию можно присвоить одно из двух возможных значений истинности – истина или ложь. Истинность – мера соответствия высказывания действительности. значения истинности истина 1 t T ложь 0 v F
Обозначаем высказывания большими латинскими буквами: A, B, C, D, . . . Примеры простых высказываний: A = "2 простое число" = 1 B = "Сегодня хорошая погода" = 0 C = "2 + 2 = 5" = 0 D = " Сегодня идет снег" = 1 E = "Светит солнце" = 0 Высказываниями в логике не являются: • Вопросы: ”Как дела? ” • Восклицания: “Tere!” • Предложения, истинность которых невозможно определить: “Быть или не быть”
1. 1. Логические действия При помощи логических действий образуют из простых высказываний составные или сложные. Простые высказывания в составе сложных называют компонентами. 2 соглашения при образовании сложных высказываний: 1. Логические действия можно выполнять с любыми высказываниями. 2. Истинность составного высказывания зависит только от истинности компонент, не от смысла полученного высказывания. Основные логические действия: "не" (отрицание, инверсия, обозначают ) "и" (конъюнкция, обозначают & , ^, *) "или" (дизъюнкция, обозначают V, + ) "если" …. . , "то" ……. (импликация, следование, , ) "тогда и только тогда" (эквиваленция, равносильность, , )
Основные логические действия: "не" (отрицание, инверсия, обозначают ) "и" (конъюнкция, обозначают & , ^, *) "или" (дизъюнкция, обозначают V, + ) "если" …. . , "то" ……. (импликация, следование, , ) "тогда и только тогда" (эквиваленция, равносильность, , ) Пример: “Начальник на месте только тогда, когда его машина у дома. ” A B “Если зарплату не поднимают или рабочее время не сокращают, то начинается забастовка. ” ( A V B) C “Не верно, что если Кадри сильна в физике, то она не сильна в математике, и не верно, что Кадри сильна в математике и в физике одновременно. ” ( F M) & (M & F)
Определение 1. 1. 1 Конъюнкцией высказываний A и B называют высказывание A&B, которое истинно тогда и только тогда, когда оба компонента A и B истинны (A = 1 и B = 1). Таблица истинности для &: A, B 0 0 0 1 1 0 A&B 0 0 0 1 1 1
Определение 1. 1. 2 Дизъюнкцией высказываний A и B называют высказывание A B, которое ложно тогда и только тогда, когда оба компонента A и B ложны (A = 0 и B = 0). Таблица истинности для : A, B 0 0 0 1 1 0 A B 0 1 1 1
Определение 1. 1. 3 Импликацией высказываний A и B называют высказывание A B, которое ложно тогда и только тогда, когда первый компонент A истинен, а второй компонент B ложен (A = 1 и B = 0). Таблица истинности для : A, B A B 0 0 1 1 1 0 1 Пример: “ Если начальник на месте, то его машина у дома. ” “Если зарплату не поднимают или рабочее время не сокращают, то начинается забастовка. ”
Определение 1. 1. 4 Эквиваленцией высказываний A и B называют высказывание A B, которое истинно тогда и только тогда, когда оба компонента A и B одновременно истинны или одновременно ложны (A = 1 и B = 1 или A = 0 и B = 0 ). Таблица истинности для : A, B A B 0 0 1 1 0 0 1
Определение 1. 1. 5 Отрицанием высказывания A называют высказывание A , которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание A ложно (A = 0 ). Таблица истинности для : A 0 1 A 1 0 Приоритет логических действий: , &, V, , . A, B 0 0 1 1 0 1 A&B A B A 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0
1. 2. Формулы логики высказываний Формальные представления простых и составных высказываний называют формулами. Определение 1. 2. 1 Формула логики высказываний определяется следующим образом: 1. все высказывания (A, B, . . . ) формулы; 2. значения истинности 0 и 1 формулы (логические константы); 3. если A формула, то A тоже формула; 4. если A и B формулы, то A & B, A B тоже формулы. Пример: Найти значения истинности формул: a) (A B) A ; b) A & B A B.
Пример: Найти значения истинности формул: a) (A B) A A, B 2 1 (A B) 4 3 A 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 b) A & B A, B 3 1 5 2 4 A & B A B 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
Определение 1. 2. 2 Формула логики высказываний A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 для всех комбинаций значений истинности компонент. A 0 1 1 1 Пример: A v A 1 2 1 A A 1 0 Определение 1. 2. 3 Формула логики высказываний A называется тождественно ложной (противоречие), если она принимает значение 0 для всех комбинаций значений истинности компонент. Пример: A & A 0 A 2 1 A & A 0 0 1 1 0 0
Замечание: если формула не является тождественно ложной, то она называется выполнимой, т. е. она принимает хотя бы одно не равное 0 значение. Определение 1. 2. 4 Формула логики высказываний A и B называются равносильными, если они принимают равные между собой значения истинности при всех комбинациях значений истинности компонент. Пример: A & A (A v A) A 3 2 1 (A A) 2 1 A & A 0 0 1 1 0 1 0 0 0
Законы математической логики 1. Закон двойного отрицания: A A 2. Коммутативность: a) A & B B & A b) A B B A 3. Асоциативность: a) (A & B ) & C A & (B &C) b) (A B ) C A (B C ) 4. Дистрибутивность: a) A & ( B C ) A &B A &C b) A ( B & C ) ( A B) & ( A C ) 5. Идемпотентность: a) A & A A b) A A A
6. Действия с константами: d) A 1 1 a) A & 0 0 e) A A 1 b) A 0 A f) A & A 0 c) A &1 A 7. Законы де Моргана: a) (A & B) A B b) (A B) A & B 8. Преобразования импликации: a) A B b) A B (A & B) 9. Преобразования эквиваленции: a) A B (A & B) ( A & B) b) A B (A B) & (B A) 10. Законы склеивания: a) (A & B) (A & B) A b) (A B) & (A B) A 11. Законы поглащения: a) A & (A B) A b) A (A & B) A
Скачать презентацию RAR 3230 DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP Введение Учебные
db69d859b1cd8c32206e4e2a4c803b58.ppt