РАНГ МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рангом матрицы называется наибольший

РАНГ МАТРИЦЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка равен , так как ее определитель является минором порядка и у невырожденной матрицы отличен от нуля.

2) Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: 1) умножение строки (столбца) на число 0; 2) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца), умноженной на число 0; 3) перестановка i-й и k-й строки (столбца); 4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов); 5) вычеркивание нулевых строк (столбцов). Матрица B называется эквивалентной матрице A , если она может быть получена из A элементарными преобразованиями. Обозначают: A ~ B.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ Пусть, требуется вычислить ранг матрицы A размеров m x n. Шаг 1: Если матрица A нулевая, то по определению Rg A = 0. В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что a 11=0; Шаг 2: Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число -(а 12/a 11). В результате вторая строка принимает вид (0 a 22 … a 2 n); Шаг 3: Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число -(а 31/а 11). В результате третья строка принимает вид (0 a 32 … a 3 n); Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ Преобразованная матрица имеет вид: Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля a 11. В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что a 22=0.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ Шаг 4: Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число -(а 32/а 22). В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число – (a 42/a 22) , и т. д. В результате получаем матрицу : Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то ранг матрицы A(2) = 2, так как минор не равен 0. В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т. д.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с (r+1)-ой , равны нулю (или отсутствуют при r = m ≤ n ), а минор в первых r строках и r первых столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен r. В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Найти ранг матрицы: 2. Найти ранг матрицы: 3. Найти ранг матрицы:

Пример 3

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. Rg. A = Rg. AT Строки матрицы становятся ее столбцами. Максимальное число новых столбцов транспонированной матрицы, (бывших строк исходной) образующих линейно независимую систему, равно рангу матрицы.

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ