Рациональные и иррациональные числа Презентацию подготовили

Рациональные и иррациональные числа • Презентацию подготовили: • Кочетков Владислав • Хайруллин Марат • 10 -М (Физико-Математический класс)

Что такое иррациональные числа • Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби.

История появления иррациональных чисел Иррациональность. Первоначально открытие иррациональных чисел связано с открытием несоизмеримости диагонали квадрата, с его стороной. Одни приписывают данное открытие Пифагору, другие некоторым другим пифагорейцам 5 в. д. н. э. “Современное” доказательство иррациональности √ 2 есть уже у Аристотеля. Доказательство иррациональности √ 3, √ 5 …√ 17 принадлежит Теодору из Нирены. Общее учение об иррациональности создал Теэтет (ученик Теодора). Возможно и терминология в теории иррациональности введена Теодором. греческого и образован из латинского in (ir)- отрицание и ratio-“отношение”. Термин ввел Штифель. До этого иррациональные числа называли “глухими”, “безгласными”- “surdi”.

Глубокое представление об иррациональных числах • Иррациональные числа в отличие от рациональных не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: • - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно , • - отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу

Свойства иррациональных чисел • • • Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями. Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа. Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным. Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число. Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел. Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории Дедекиндово сечение (узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Введён Дедекиндом. Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Круги Эйлера

Примеры иррациональных чисел: √ 2 = 1, 41213652. . . √ 3 = 1, 730508075. . . (число Пи ) π = 3, 14159. . . (основание натурального логарифма ) e = 2, 71845. . . • Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой [ай] - "I ". • • •

Что такое рациональные числа • Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число, к примеру ¼. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п. ), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Примеры • ¼ • 5 • -15 • 0 • Подмножество дробей Фарея

Подмножество дробей Фарея (Ряд Фарея) • Что это: Ряды Фарея (также дроби Фарея, последовательность Фарея или таблица Фарея) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел. • История происхождения: Джон Фарей (John Farey) — известный геолог, один из пионеров геофизики. Его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» ( «Об интересном свойстве обыкновенных дробей» ), в которой Фарей определил последовательность F_n. Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том же году опубликовал доказательство. Интересен тот факт, что последовательность, описанная Фареем в 1816 году, была использована Харосом в его статье 1802 года о приближении десятичных дробей обыкновенными дробями.

Пример последовательности от 1 до 8