Работа и энергия
Работа и мощность n Работой силы А называется произведение силы , приложенной к перемещаемому телу, на величину перемещения под действием этой силы:
n Если , то траекторию движения разбивают на малые участки, на которых силу можно считать постоянной, и находят работу на этом участке: n Полная работа: Единица измерения 1 Дж = 1 Н· 1 м = 1 кг·м 2/с2 n
n Величина, измеряемая работой, которая производится за единицу времени, называется мощностью Р: n При Р=const n Если и , то
Сохраняющиеся величины Силы, действующие на систему тел Внутренние Внешние
n Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей материальных точек (образующих систему), которые сохраняют при движении постоянное значение. n Такие функции называются интегралами движения. n Для системы из N свободных частиц существует 6 N-1 интегралов движения. Существует 3 аддитивных интеграла движения: - энергия - импульс - момент импульса n
n Соответственно существуют три закона сохранения: - Закон сохранения энергии (связан с однородность времени) - Закон сохранения импульса (связан с однородностью пространства) - Закон сохранения момента импульса (связан с изотропией пространства)
Консервативные силы n Основным свойством консервативных сил является то, что работа консервативных сил не зависит от формы траектории. n Примерами консервативных сил являются сила тяжести и сила упругости.
Рассмотрим работу силы тяжести: Получили, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории.
n Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальной и конечной координатами тел. n Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. n Силы, которые не удовлетворяют этому правилу, называются неконсервативными. n Примером неконсервативных сил является сила трения.
Энергия и закон сохранения энергии n Энергией называется величина, характеризующая способность тела (системы) производить работу.
Механическая энергия Кинетическая Потенциальная
n Тело, поднятое над поверхностью Земли обладает потенциальной энергией: n Потенциальная энергия деформированной пружины: n Кинетическая энергия, движущегося тела: n Единица измерения: 1 Дж
Закон сохранения энергии n Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. n В общей форме закон сохранения энергии: Энергия никуда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. n Закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он справедлив как для систем макротел, так и для систем микротел.
Вращение твердого тела вокруг жестко закрепленной оси
Угловое ускорение. Момент силы. Угол ∆φ называется углом поворота радиуса - вектора точки. n Модуль вектора dφ равен углу поворота. Направление вектора dφ совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого, вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта. n
n Угловой скоростью ω называется предел, к которому стремится средняя угловая скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени ∆t, или первая производная от угла поворота по времени: n При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. Связь между линейной и угловой скоростью точек тела имеет вид: n
n Угловое ускорение — величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела: n Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно — при замедленном)
n Угловое ускорение твердого тела зависит не только от силы, но и от расстояние до точки приложения силы. n Эффективность воздействия силы определятся величиной: называемой моментом силы.
Второй закон Ньютона при вращательном движении. Момент инерции. n Уравнение вращательного движения в скалярной форме имеет вид: Величина I – мера инерции тела по отношению к вращательному движению, называется моментом инерции тела. n Момент инерции тела зависит: - от массы тела - от характера распределения массы относительно оси вращения n
n Рассмотрим движение материальной точки m F r O ω
n Тело произвольной формы следует разбить на малые части массой Δm и считать момент инерции I как сумму:
n Для колеса r n dm Для цилиндра R b d. R
Моменты инерции I некоторых однородных твердых тел.
Теорема Штейнера n Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Iс относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:
Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. n Уравнение вращательного движения имеет вид: момент импульса
n В общем виде: n Уравнение движения тогда имеет вид
Закон сохранения момента импульса n Пусть , тогда n Векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной.
Кинетическая энергия вращательного движения. n Кинетическая энергия точечного тела: m F r O ω
n Если тело движется одновременно поступательно и вращательно, то его кинетическая энергия:
n Для катящегося колеса: n Для катящегося шара:
Вращение тела вокруг одной закрепленной точки n Гироскопом называют быстро вращающееся тело, укрепленное в специальном подвесе. n Момент импульса свободного гироскопа остается постоянным, а следовательно сохраняется в пространстве направление оси его вращения.
n Свободный гироскоп закреплен в кардановом подвесе. Карданов подвес устроен следующим образом: на корпусе закреплено внешнее кольцо, которое может вращаться около оси АА 1. n Внутри него расположено второе кольцо, ось вращения которого ВВ 1, перпендикулярна к АА 1. Внутри последнего кольца около оси СС 1 перпендикулярной к ВВ 1 вращается гироскоп О. n Благодаря такому устройству ось гироскопа может свободно поворачиваться и занимать любое положение в пространстве, при этом корпус гироскопа будет оставаться неподвижным. Момент внешних сил, действующих на свободный гироскоп, равен нулю т. к. сила тяжести гироскопа уравновешена силой реакции в опорах карданова подвеса, а сила трения в шариковых подшипниках очень маленькая.
n Если сила и направлена в сторону вращения, то она будет раскручивать волчок.
n Прецессия — явление, при котором ось вращающегося объекта поворачивается
n n Нутация — колебательные движения оси прецессирующего тела. Скорость прецессии и амплитуда нутации связаны со скоростью вращения тела (изменяя параметры прецессии и нутации в случае, если есть возможность приложить силу к оси вращающегося тела, можно изменить скорость его вращения).
Неинерциальные системы отсчета
Силы инерции y y’ V a х’
Центробежная сила инерции n Если тело находится во вращающейся системе координат y’ Fи Fн x’
Приливы и отливы
n На водные массы на поверхности Земли действуют силы: Fc ц. м. 1 1 Fи Fл Fи R 2 Fc 2 Солнечные приливы и отливы Fи ц. м. Fл Fи Лунные приливы и отливы
Движение во вращающейся системе координат. Сила Кориолиса. B n Сила Кориолиса находится по формуле: О C V
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Давление внутри жидкости n Большую часть времени молекулы жидкости колеблются около положений равновесия, иногда совершают перескоки в новые положения равновесия. n Расстояния между молекулами остаются почти постоянными, в результате чего жидкость не сохраняет свою форму, но имеет вполне определенный объем.
n Давление – это сила, рассчитанная на единицу площади: h S
Выталкивающая сила. Закон Архимеда. n На тело, погруженное в жидкость или газ действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:
n Если Р>Fарх, то тело тонет; n если Р< Fарх, то тело всплывает; n если Р= Fарх, то тело находится в состоянии безразличного равновесия в любой точки жидкости; n если погружена только часть тела, то
Гидро- и аэродинамика n n n Если в каждой точке указать величину и направление вектора скорости, то говорят, что задано поле вектора скорости. Если жидкость в трубке тока не перемешивается при своем движении с жидкостью в соседних трубках, то такое течение жидкости называется ламинарным. За единицу времени через сечение трубки тока пройдет масса жидкости:
n За единицу времени через сечения трубки тока проходят одинаковые массы жидкости: Жидкости обычно практически несжимаемы: n Газы легко сжимаются, формулу надо применять осторожно. n
n n n Назовем несжимаемую жидкость, в которой отсутствуют силы трения, идеальной жидкостью. Когда жидкость смещается из положения S 1 в S 2, то работа внешних сил (сил тяжести) будет равна: Из закона сохранения механической энергии:
n Уравнение Бернулли n Если h 1=h 2
n Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли принимает вид: где p 0 – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока. формула Торричелли
n Водоструйный насос Если разность скоростей V 2 и V 1 будет большой, то при заданном давлении Р 1 давление Р 2 может оказаться отрицательным
n Брандспойт h S 2 S 1
n Крыло самолета
Вязкость n η- коэффициент вязкости n Единица измерения V F h
n Для воздуха n Для воды n Для смолы n Для сверхтекучего гелия
n При движении жидкости по трубе где R – радиус трубы ΔР - разность давлений на концах трубы l – длина трубы Закон Пуазёйля
Турбулентное течение. Вихри. Лобовое сопротивление. 1 2 3 4 n Число Рейнольдса
n Сила трения зависит от скорости Fтр 2 1 V
n мм
Механические колебания
n В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.
Механические колебания Свободные Вынужденные
Гармонические колебания
n ω0 – собственная частота колебательной системы
Энергия колебаний n В начальный момент полная механическая энергия системы: Еполная=Ек+Еп Ек=0, Еп=max
Фазовая диаграмма n Колебания удобно представлять на диаграмме (х, V) V 1 2 3 4 х
Математический маятник n На грузик действует результирующая сила: n Вращающий момент этой силы:
n Если углы малы, то решения ДУ имеют вид: n Период колебаний маятника:
Физический маятник n Физический маятник — твердое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс этого тела.
Затухающие колебания n n В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими
n Уравнение движения будет иметь вид: n Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2, 7 раз, называется временем затухания. n
n Декремент затухания n Логарифмический декремент затухания
n Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π: n Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением: n
