Пусть в плоскости z дана точка z 0, через которую проведены кривые γ 1 и γ 2. Функция w=f(z) - аналитична в некоторой области, и отображает точку z 0 в точку w 0 на плоскости w, где w 0=f(z 0). Линии γ 1 и γ 2 отображаются в линии Г 1 и Г 2, проходящие через точку w 0.
Выберем на кривой γ 1 точку z 0+Δz, которая отображается в точку w 0+Δw на кривой Г 1. Комплексное число Δz изображается вектором а число Δw - вектором Т. к. функция w=f(z) - аналитична в точке z 0, то
Пусть так, чтобы точка z 0+Δz оставалась на кривой γ 1, тогда так, что точка w 0+Δw будет перемещаться по кривой Г 1. Если существует то будут существовать и пределы
где - углы, образованные векторами, изображающими числа Δz, Δw с осью х. Пределы величин ArgΔz и ArgΔw равны, соответственно, углам φ1 и Ф 1.
Аналогично, если точка z 0+Δz стремится к точке z 0 по кривой γ 2, то Тогда
- угол между касательными к кривым γ 1 и γ 2 в точке z 0. - угол между касательными к кривым Г 1 и Г 2 в точке w 0.
Угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, в которой производная отображающей функции отлична от нуля, сохраняется по величине и направлению.
Если совместить плоскости z и w так, чтобы совпали точки z 0 и w 0, а ось х совпала с осью u, то, чтобы касательная к кривой γ 1 совпала с касательной к Г 1, эту конфигурацию надо повернуть на угол
Выясним геометрический смысл модуля производной. - расстояние от точки z 0 до точки Δz+z 0. - расстояние от точки w 0 до точки Δw+w 0. Следовательно, величина указывает, в каком отношении в результате отображения меняется величина расстояния между точками.
Величина являющаяся пределом отношения при называется коэффициентом растяжения в точке z 0. Если то в окрестности точки z 0 расстояние между точками увеличивается, и наоборот.
В силу аналитичности функции f(z) величина не зависит от закона стремления поэтому коэффициент растяжения в данной точке постоянен.
Отображение, обладающее свойством постоянства углов и свойством постоянства коэффициента растяжения в каждой точке, называется конформным отображением 1 рода.
Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых производная этой функции отлична от нуля. Верно и обратное утверждение: Если отображение, осуществляемое функцией, конформно в некоторой области, то эта функция является аналитической в данной области.
Отображение, отличающееся от конформного тем, что углы сохраняются только по абсолютной величине, но меняют направление отсчета на противоположное, называется конформным отображением 2 рода.