Пусть на отрезке a b задана неотрицательная функция

Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0. Рассмотрим ломаную, расположенную достаточно близко к кривой.

Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна сумме площадей всех трапеций: Причем, площадь под кривой будет приближенно равна площади под ломаной, если ломаная достаточно близко подходит к кривой.

За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной при условии, что ломаная неограниченно приближается к кривой. Разобьем отрезок [a, b] на n элементарных отрезков точками х0, х1, …хn. На каждом из отрезков выберем точку ξi , и найдем значение функции в этой точке Положим

Сумму вида называют интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a, b].

Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек ξi Каждое отдельное слагаемое в интегральной сумме равно площади сторонами Si прямоугольника и со

Наибольший из отрезков разбиения обозначим как Вся интегральная сумма будет равна

Если существует конечный предел интегральной суммы при не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек ξi, то он называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b].

Функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Числа a и b называются нижним и верхним пределом, соответственно.

Неопределенный интеграл есть семейство функций, а определенный интеграл есть определенное число.

Не надо По определению предполагается, что а < b. Положим

Не надо С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше. Если а = b, то

Геометрический смысл определенного интеграла

Теорема о существовании определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

Теорема о среднем Если функция непрерывна на существует такая точка что то

Пример Вычислить .

Пример

Не надо

Пример

Несобственный интеграл

Пример Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) Этот несобственный интеграл расходится.

Пример Несобственный интеграл Этот несобственный интеграл сходится.

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции 0

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Продолжение Получим

Длина дуги в декартовых координатах Если кривая задана уравнением , то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги. Если кривая задана уравнением то , где с, d–ординаты начала и конца дуги

Примеры Вычислить длину дуги кривой от точки до. , тогда

Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле

Вычисление объема тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле.

Вычисление объема тела вращения y 1 А 0 1 Рис. 14 Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и

Решение Тогда

Вычисление площадей В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью Ох и кривой вычисляют по формуле. где пределы интегрирования определяют из уравнений .

Вычисление площадей Площадь полярного сектора вычисляют по формуле. β α

Примеры Найти площадь эллипса. Параметрические уравнения эллипса у х о

Пример Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли и лежащей вне круга радиуса :

Вычисление длины дуги Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги в полярных координатах Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги.