Пусть f(x) и φ(x) – функции,

Пусть f(x) и φ(x) – функции, для которых существуют пределы при Тогда справедливы следующие теоремы: 0 xx илиx Bx. Axf x xx )(lim

Функция не может иметь более одного предела.

Предположим обратное: что функция f(x) имеет два предела: А и D , Тогда функцию f(x) можно представить как сумму: DA Dxf. Axf x xx )(lim 00 Axxf)()( или. Dxxf)()( Где )(), (xx 0 xxx — бесконечно малые величины при или

Вычитаем почленно эти равенства: )()(0 xx. DA )()(xx. AD Но по условию теоремы а разность , DA )()(xx является бесконечно малой величиной. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно, и функция имеет единственный предел.

Предел алгебраической суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций : BAxxfxxf x xx )(lim)()(lim

По условию теоремы: Тогда функции f(x) и φ(x) можно представить как суммы: Axxf)()( и. Bxx)()( Bx. Axf x xx )(lim 00 Где )(), (xx 0 xxx — бесконечно малые величины при или Складываем почленно эти равенства:

)()(xx. BAxxf. Сумма бесконечно малых величин является величиной бесконечно малой. Таким образом, функция f(x) + φ(x) представляет собой сумму числа А+В и бесконечно малой величины, следовательно BAxxf x xx )()(lim

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций : BAxxfxxf x xx )(lim)()(lim

ACxf. C x xx )(lim

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций : B A x xf x xx )(lim )( )( lim

Если. Auf uu )(lim 0 и 0)(lim 0 ux xx то предел сложной функции существует и равен Axf xx )(lim

Если в некоторой окрестности точки х 0 (или при достаточно больших х))()(xxf то )(lim 00 xxf x xx

В этих теоремах полагается, что существуют пределы функций f(x) и φ(x) , из чего следует существование пределов суммы, произведения или частного этих функций. Однако из существования пределов суммы, произведения или частного еще не следует, что существуют пределы самих функций f(x) и φ(x).

Но: 11 limlim 22 xx ctgxtgx — не существует tgx x 2 lim