ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Статистическая гипотеза и общая схема

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки

• Принцип практической уверенности о невозможности маловероятных событий сформулирован «при однократном выполнении испытания» . Если же произведено много испытаний, в каждом из которых вероятность события А даже очень мала, то существенно повышается вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз в массе испытаний. • Пусть вероятность Р(А) = α, где α<1. Тогда вероятность события В, состоящего в том, что событие А произойдет хотя бы один раз в n независимых испытаниях, равна: • Р(В)=1 -(1 - α)n ≈1 -(1 -nα)= nα, т. е. вероятность Р(В) увеличилась по сравнению с Р(А) в n раз. Таким образом, при многократном повторении испытаний мы уже не можем считать маловероятное событие А практически невозможным.

• Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность α события А, чтобы его можно было считать практически невозможным, выходит за рамки математической теории и решается в каждом отдельном случае с учетом важности последствий, вытекающих из наступления события А. В одних случаях считается возможным пренебрегать событиями, имеющими вероятность меньше 0, 05, а в других, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т. п. , нельзя пренебрегать событиями, которые могут появиться с вероятностью, равной 0, 001.

• С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического процесса, об эффективности нового метода обучения, управления, о пользе вносимого удобрения, лекарства, об уровне доходности ценных бумаг, о значимости математической модели и т. д.

• Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. • Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают Н 0. Наряду с нулевой гипотезой Но рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу Н 1, являющуюся логическим отрицанием Н 0. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

• Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) θ n(х1. . . , хn, ), полученная по выборке Х 1, . . . , Хn, точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение θkp - такое, что если гипотеза Н 0 верна, то вероятность Р(θ n >θkр , ) = α мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие θ n >θkр можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому если в данном конкретном случае обнаруживается значение статистики θ n >θkр , то гипотеза Н 0 отвергается, в то время как появление значения θ n ≤θkр считается совместимым с гипотезой Н 0, которая тогда принимается (точнее , не отвергается ).

• Правило, по которому гипотеза Н 0 отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом. • возможны четыре случая Гипотеза Н 0 Принимается Отвергается Верна Правильное решение Ошибка 2 -го рода Ошибка 1 -го рода Правильное решение Неверна

• Вероятность α допустить ошибку 1 -го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Н 0, когда она верна, называется уровнем значимости, или размером, критерия. • Вероятность допустить ошибку 2 -го рода, т. е. принять гипотезу Н 0, когда она неверна, обычно обозначают β. Вероятность (1 - β ) не допустить ошибку 2 -го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Н 0, когда она неверна, называется мощностью критерия.

• Пользуясь терминологией статистического контроля качества продукции, можно сказать, что вероятность α представляет «риск поставщика» , связанный с забраковкой по результатам выборочного контроля изделий всей партии, удовлетворяющей стандарту, а вероятность β- «риск потребителя» , связанный с принятием по анализу выборки партии, не удовлетворяющей стандарту. • Применяя юридическую терминологию, αвероятность вынесения судом обвинительного приговора, когда на самом деле обвиняемый невиновен, β-вероятность вынесения судом оправдательного приговора, когда обвиняемый на самом деле виновен в совершении приступления. В ряде прикладных исследований ошибка первого рода α означает вероятность того, что предназначавшийся наблюдателю сигнал не будет им принят, а ошибка второго рода β –вероятность того, что наблюдатель примет ложный сигнал.

Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по опытному (эмпирическому) распределению, представляющему вариационный ряд. • Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.

• Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Естественно, возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служат критерии согласия.

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности 1. Вычислить выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение σ 2. Вычислить теоретические частоты а)расчитать вероятности рi попадания случайной величины Х в интервал [хi, xi+1] с использованием функции Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения: (Ф(t)=2 нормстрасп(t)-1)

б) Вычислить теоретические частоты по формуле: =nрi 3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона а) найти наблюдаемое значение б)по таблице критических точек распределения χ2 , позаданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = m- г- 1 находят критическуюточку χ2 крит(α, k), (ХИ 2 ОБР)

• Если χ2 < χ2 крит(α, k)- нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо • Если χ2 > χ2 крит(α, k)- гипотезу отвергают, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности 1. Вычислить выборочную среднюю 2. Принять в качестве оценки параметра λ=1/ 3. Вычислить теоретические частоты а)расчитать вероятности рi попадания случайной величины Х в интервал [хi, xi+1] по формуле

б) Вычислить теоретические частоты по формуле: =nрi 3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона а) найти наблюдаемое значение б)по таблице критических точек распределения χ2 , позаданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = m- г- 1 находят критическуюточку χ2 крит(α, k), (ХИ 2 ОБР)

• Если χ2 < χ2 крит(α, k)- нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо • Если χ2 > χ2 крит(α, k)- гипотезу отвергают, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.