ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ Лекция

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ Лекция 11

Критерий согласия Пирсона Карл Пирсон ((1857 г-1936) Великобритания) — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Образование: Гейдельбергский университет, Кембриджский университет, Королевский колледж, Кембридж Проблема эволюции это статистическая проблема. … Чтобы уверенно истолковывать наши наблюдения, мы должны обратиться к математике больших чисел, к теории массовых явлений.

Предположим, что исследуемая случайная величина имеет нормальную функцию распределения : (1) Статистический критерий называется критерием согласия. Рассмотрим применение критерия согласия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении. Замечание. Этот критерий может применяться и для других распределений.

Пусть результаты наблюдений представлены статистическим рядом: …. . …… Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты для каждой варианты ряда. Получим таблицу

…. …… …… Алгоритм. 1) По наблюдаемым и теоретическим частотам вычисляем

; 2) Вычисляем число степеней свободы критерия Пирсона для нормального распределения по таблице 5 определяем ; 3) Сравниваем и : если - нет оснований отвергнуть гипотезу , если - гипотезу отвергаем. Замечание. Критерий Пирсона называют также критерием «хи-квадрат» . Замечание. Объем выборки . Каждая частота

Пример. При уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении, если известны наблюдаемые и теоретические частоты: 1 2 3 4 5 6 7 8 суммы 6 13 38 74 106 85 30 14 366 3 14 42 82 99 76 37 13 366 3 0, 07 0, 38 0, 78 0, 49 1, 07 1, 32 0, 08 7, 19

• Тогда . Число степеней свободы . По таблице 5 находим . Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Замечание. Расчетная формула для (2):

Метод вычисления теоретических частот нормального распределения 1. Весь интервал наблюдаемых значений разбиваем на интервалов одинаковой длины: , причем . Вычисляем значения середин интервалов 2. Вычисляем выборочную среднюю и оценку дисперсии.

• 1 способ. Так как объем выборки большой, то достаточно рассчитать 2 способ. . 3. Для случайной величины распределение , имеющей нормальное , вычисляем значения в концах интервалов: причем

• 4. Вычисляем теоретические вероятности попадания : случайной величины в интервал , воспользовавшись интегральной функцией Лапласа: и теоретические частоты: • 5. Вычисляем наблюдаемое значение критерия «хиквадрат» :

6. Сравниваем и : v Если - нет оснований отвергнуть гипотезу v Если - нулевая гипотеза отвергается. Все вычисления заносятся в таблицу. ;

• Пример. При уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по выборке объема , извлеченной из этой совокупности: 8 15 25 20 Решение. Построим таблицу, следуя предложенному алгоритму: 12

10 80 800 14 15 210 2940 18 25 450 8100 22 20 440 9680 26 суммы 8 12 312 8112 80 1492 29632

Вычисляем значения в концах интервалов:

10 80 800 14 15 210 2940 -1, 391 -0, 554 18 25 450 8100 -0, 554 0, 282 22 20 440 9680 0, 282 1, 119 26 суммы 8 -1, 391 12 312 8112 1, 119 80 1492 29632

Вычислим значения интегральной функции Лапласа в концах отрезка по таблице 2, учитывая нечетность функции Лапласа: 10 80 800 14 15 210 2940 18 25 450 22 20 26 суммы 8 -1, 391 -0, 5 -0, 4177 -1, 391 -0, 554 -0, 4177 -0, 2088 8100 -0, 554 0, 282 -0, 2088 0, 1123 440 9680 0, 282 1, 119 0, 1123 0, 3686 12 312 8112 1, 119 0, 3686 0, 5 80 1492 29632

Результаты занесем в таблицу. Вычисляем теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый интервал : Результаты сразу заносим в таблицу и проверяем, чтобы

10 80 800 14 15 210 2940 18 25 450 22 20 26 суммы 8 -1, 391 -0, 554 -0, 4177 -0, 2088 0, 209 8100 -0, 554 0, 282 -0, 2088 0, 1123 0, 321 440 9680 0, 282 1, 119 0, 1123 12 312 8112 1, 119 80 1492 29632 0, 3686 -0, 4177 0, 082 0, 3686 0, 256 0, 5 0, 132 1

• Вычисляем теоретические частоты: Данные заносим в таблицу. В сумме получим объем выборки. • Вычисляем . Суммируя, получим • Число степеней свободы таблице 5 . , и по.

10 80 800 14 15 210 2940 18 25 450 22 20 26 суммы 8 -1, 391 -0, 5 -0, 4177 0, 082 6, 56 0, 30 -1, 391 -0, 554 -0, 4177 -0, 2088 0, 209 16, 72 0, 18 8100 -0, 554 0, 282 -0, 2088 0, 1123 0, 321 25, 68 0, 02 440 9680 0, 282 1, 119 0, 1123 0, 3686 0, 256 20, 48 0, 01 12 312 8112 1, 119 0, 3686 0, 5 0, 132 10, 56 0, 21 80 1492 29632 1 80 0, 72

• Так как • - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Благодарю за внимание