Прототипы В 14 Исследование сложной функции содержащей показательную

Прототипы В 14 Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень. МБОУ г. Мурманска гимназия № 3 Шахова Татьяна Александровна

Первый способ (традиционный) предполагает использование алгоритмов и знание формул. Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке : 1) 2) 3) 4) Найти производную функции. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение. Найти значение функции на краях числового промежутка и в нулях производной, входящих в данный числовой промежуток. Выбрать среди полученных значений функции значение, соответствующее вопросу задачи (наибольшее или наименьшее) Важно: промежуток может быть не указан, но очевиден: область определения. 03. 02. 2018 2

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка: 1) 2) 3) 4) Найти производную функции. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение. Провести исследование на эстремумы на области определения функции. Если эстремум один, то именно в нем достигается наибольшее (наименьшее) значение функции. Найти соответствующее значение функции, подстановкой. 03. 02. 2018 3

Алгоритм нахождения точек экстремума. 1) 2) 3) 4) Найти производную функции. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение. На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых производная не определена. Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на вопрос. Например: т. max Ответ: 03. 02. 2018 -3

Формулы: Дифференцирование показательной функции: Дифференцирование логарифмической функции: Дифференцирование сложной функции: 03. 02. 2018 5

245180 Найдите наибольшее значение функции . Решение: Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения. Конечно, страшновато, но уже ясно, что краев у числового промежутка нет, а, следовательно в них не будет достигаться наибольшее или Убедимся, что это наибольшее значение: наименьшее значение. т. max Ответ: 4 03. 02. 2018 Точка максимума одна, следовательно в ней и будет наибольшее значение. 6

245184 . Найдите наибольшее значение функции Решение: Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения. Убедимся, что это наибольшее значение: Разделим на первый и второй множители, не равные нулю: т. max Точка максимума одна, следовательно в ней и будет наибольшее значение. Ответ: 03. 02. 2018 9 7

Не очень просто. Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и логарифмической функции в общем виде. Попробуем иначе. Без использования алгоритма и формул. 03. 02. 2018 8

В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Наибольшие, наименьшие значения, точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x). Конечно, с учетом области определения. 03. 02. 2018 9

245184 . Найдите наибольшее значение функции Решение: Функция возрастает на R, следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении аргумента (аргументом в данном случае является функция, находящаяся в показателе). Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе. т. max Следовательно Ответ: 03. 02. 2018 9 10

Можно и совсем обойтись без производной. Используем простые графические соображения. 03. 02. 2018 11

245183 Найдите наименьшее значение функции Решение: Функция возрастает на R, следовательно наименьшее значение принимает при наименьшем значении аргумента (функции, находящейся в показателе). Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе. График – парабола, ветви направлены вверх. Следовательно Ответ: 03. 02. 2018 1 6 12

245180 . Найдите наибольшее значение функции Решение: Функция возрастает на всей области определения , следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении аргумента (функции, находящейся под знаком логарифма). Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся под знаком логарифма. График – парабола, ветви направлены вниз. Следовательно Ответ: 4 13

Решим таким же способом задания, связанные с исследованием сложной функции, содержащей квадратичную функцию под знаком квадратного корня. 03. 02. 2018 14

245174 Найдите точку минимума функции Решение: . Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения. Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y): R. Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. График – парабола, ветви направлены вверх. Ответ: 3 15

245174 Найдите наибольшее значение функции Решение: . Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения. D(y): [-5; 1]. Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. График – парабола, ветви направлены вниз. Следовательно Ответ: 3 16

Реши самостоятельно любым способом: • Найдите точку минимума функции • Найдите точку максимума функции . . • Найдите наименьшее значение функции 03. 02. 2018 . 17

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ 03. 02. 2018 18