Простые и составные числа Определение 1 Число

Простые и составные числа • Определение 1. Число n называется простым, если оно имеет ровно два делителя: 1 и n. !!! Существует ровно одно простое четное число – 2. Теорема Евклида. Множество простых чисел бесконечно. • Определение 2. Число называется составным, если оно имеет более двух делителей. Упражнения. Выясните, простыми или составными являются числа: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Признак простоты числа. Натуральное число n является простым тогда и только тогда, когда не делится на все простые числа, не превосходящие . Основная теорема арифметики. Любое натуральное число можно разложить на простые множители: , причем единственным способом. Если не все простые числа различны, то сгруппируем их, получим каноническое разложение числа на простые множители

НОД и НОК. Взаимно простые числа • • • Определение 3. Наибольшим общим делителем натуральных чисел a и b называется наибольшее натуральное число d, на которое делятся числа a и b. Обозначается оно так: . Определение 4. Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число k, которое делится на числа a и b. Обозначается оно так . Определение 5. Числа a и b называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей кроме 1, т. е. если . Алгоритм Евклида нахождения НОД (а, b) 1. Большее из чисел разделить с остатком на меньшее число. 2. Делитель предыдущего шага разделить на остаток предыдущего шага 3. Повторить процедуру до тех пор, пока не получится деление нацело (без остатка) 4. Последний ненулевой остаток алгоритма и есть НОД(а, b), выписать его.

НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Задачи • • 1. Найти НОД(512, 344) и НОД(3842, 316), пользуясь алгоритмом Евклида. 2. Решить в натуральных числах уравнения: а) НОД(2, 4 х)=2; б) НОК(6, х)=24; в) НОД(9, 5 х)=3. 3. Если числа 173 и 185 разделить на одно и тоже число, то получатся остатки 8 и 9. Чему равно это число? 4. Для приготовления новогодних подарков купили 200 апельсинов, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество подарков можно приготовить для детей, и сколько апельсинов, орехов и конфет будет положено в каждый из них? 5. Торговка принесла на рынок корзину с яблоками. Если раскладывать яблоки в кучки по 5, то останется 4 яблока, если раскладывать по 4, то останется 3 яблока, а если раскладывать по 3, то останется 2. Каково наименьшее число яблок могло быть в корзине, если их – нечетное число? 6. На вступительном экзамене по математике одна треть абитуриентов получила оценку « 3» , одна четвертая часть – « 4» , а одна пятая часть – оценку « 5» . Сколько человек получили оценку « 5» , если всего абитуриентов было более 200, но менее 300? 7. Петя подсчитал, что ровно одна треть фильмов, которые он просмотрел за месяц – боевики, одна шестая часть – комедии, а одна седьмая часть – фильмы ужасов. Сколько часов перед телевизором провел Петя за месяц, если продолжительность одного фильма 2 часа, и Петя смотрел не более двух фильмов в день?