ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА Выполнил: магистрант 2 года обучения Мельник Пётр, Грошева Л.
Пьер Ферма - один из величайших математиков всех времён. ПЬЕР ФЕРМА (1601 – 1665 г. г. ) По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и, помимо достижений в математике, был выдающимся знатоком искусства и литературы. Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки, изданной посмертно старшим сыном Ферма Клеманом. Самуэлем.
Разложение некоторых чисел на множители Пример 1 6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10 – раскладываются на множители. 3, 7, 13, 37 – не раскладываются на множители. Здесь c=a*b – a и b множители или делители числа с. с=1*с=с*1 – 1 и c тривиальные делители числа с.
Разложение некоторых чисел на множители Любое число c>1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число, большее единицы, имеет только тривиальное разложение на множители, то оно называется простым. Пример 2 Среди первых ста чисел простыми являются следующие 25 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Простые числа Ферма ? … 3 5 65537 257 17
Число F 5 = 429 496 729 Пьер Ферма считал, что F 5 = 429 496 729 простое число, так как не смог найти для него делитель. Используя свою теорему (1640 г. ), Ферма мог бы проверить 5 -е число, использовав всего 32 операции возведения в квадрат по модулю, получил бы число 3 029 026 160 и этим доказал, что F составное, даже не находя его делителей. Малая теорема Ферма. Для всякого простого числа р и натурального х число xp-1– 1 делится на р.
Леонард Эйлер разложил F 5 на множители: 641 и 6700417 в 1732 г. , ему было тогда 25 лет. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707 -1783) Всякий делитель числа Ферма имеет вид: k*2 m+1+1. Таким образом, Эйлер проверял всего 10 делителей вида 64 k+1. ЭДУАРД ЛЮКА (1842 -1891) В 1878 г. Эдуард результат: Люка усилил этот Каждый делитель числа Ферма имеет вид: k*2 m+2 при некотором k.
«Ферматисты» В сети Интернет действует проект «Поиск делителей для чисел Ферма» www. fermatsearch. org благодаря которому «ферматисты» узнают о результатах новых открытий, сообщают о своих результатах и объединяются в группы до 20000 человек для проверки чисел Ферма.
Докомпьютерная эпоха Годы Интервал в годах Найдено делителей 1640 -1731 92 0 1732 -1854 123 2 1855 -1900 46 7 1901 -1952 52 7 ВСЕГО 313 16
Компьютерная эпоха Годы Колво Годы Колво 1961 - 1971 - 1981 3 1991 12 2001 21 2011 7 1962 2 1972 - 1982 2 1992 10 2002 7 2012 2 1953 2 1963 11 1973 - 1983 2 1993 10 2003 8 1954 - 1964 - 1974 2 1984 7 1994 1 2004 2 1955 - 1965 - 1975 - 1985 2 1995 8 2005 7 1956 14 1966 - 1976 2 1986 12 1996 7 2006 1 1957 6 1967 - 1977 4 1987 5 1997 4 2007 3 1958 - 1968 - 1978 2 1988 4 1998 8 2008 12 1959 - 1969 - 1979 13 1989 - 1999 9 2009 9 1960 - 1970 2 1980 9 1990 8 2000 13 2010 6 ВСЕ ГО 22 15 32 45 82 70 9
Задача построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки Правильным многоугольником называется многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окружности на одинаковых расстояниях друг от друга. Если у правильного многоугольника n вершин, то мы называем его правильным n-угольником. Если мы проведем n радиусов, соединяющих центр окружности с вершинами, то получим n центральных углов величиной каждый. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и сам многоугольник.
Древние греки Как известно из курса геометрии, задача построения правильных n-угольников равносильна задаче деления круга на равные части. Так деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 равных частей было известно уже в древности, равно как и деление пополам произвольной дуги. По стороне 6 -угольника можно, таким образом, вычислить длины сторон 12 -угольника, 24 угольника, 48 -угольника и т. д.
«Арифметические исследования» Гаусса В 1801 г. Карл Фридрих Гаусс опубликовал работу по теории чисел «Арифметические исследования» . В ней Гаусс: КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777 - 1855) ü указал метод для построения циркулем и линейкой правильного 17 угольника; üопределил для всех чисел n, какие nугольники могут быть построены таким образом, а какие нет.
Теорема Гаусса о возможности построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки Теорема Гаусса. Построение правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки возможно в том и только том случае, когда число может быть представлено в виде 2αp 1 p 2…ps , где p 1, p 2, …, ps - различные простые числа вида (то есть числа Ферма). Если n - простое число, то для того, чтобы правильный n-угольник можно было построить посредством циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы число имело вид.
Построение правильных 257 -угольника и 65537 угольника с помощью циркуля и линейки Руководство по построению правильного 257 -угольника впервые было предложено Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 г. В 1894 г. Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537 -угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).
Основные проблемы Проблема № 1. Существует ли бесконечно много простых чисел Ферма? Проблема № 2. Все ли числа Ферма являются числами, свободными от квадратов? Натуральное число называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат простого числа Проблема № 3. Существует ли бесконечно много составных чисел Ферма?
Список литературы 1. Кирилов А. «О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числах Ферма» , Квант, 1977, № 7 2. Оре О. «Простые числа Ферма» , Квант, 1979 3. Википедия [Электронный ресурс] : интернет - проект. — Режим доступа : http: //ru. wikipedia. org/wiki/Правильный_семнадцатиугольник 4. Википедия [Электронный ресурс] : интернет проект. — Режим доступа : http: //ru. wikipedia. org/wiki/Ферма_Пьер 5. Новые ферматисты [Электронный ресурс] : интернет - проект. — Режим доступа : www. fermatsearch. org
Скачать презентацию ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА Выполнил магистрант 2 года обучения
Мельник П. Простые числа Ферма.ppt