Пространственная теорема Пифагора Все плоские углы тетраэдра

Пространственная теорема Пифагора

Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

Три формулировки теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов; Квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его взаимно перпендикулярных сторон; Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые две взаимно перпендикулярные прямые.

(1. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов B BC 2=AB 2+AC 2 A С

2. Квадрат длины диагонали прямоугольника равен B 1 сумме квадратов длин двух его взаимно перпендикулярных сторон B C O 2 O A O O 1 A 1 2=OA 2+OB 2 OC OA=O 1 A 1 OB=O 2 B 1

3. Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые A c B q B 2 B 1 a A 1 B 1 Доказательство: C p A 1 A 2 1) Отрезки A 1 B 1 и AC – это проекции отрезка АВ на две взаимно перпендиb кулярные прямые к плоскости Y. По теореме Y Пифагора (3 формул. ) AB 2=A 1 B 12+AC 2 ;

2) Спроектируем отрезок A 1 B 1 на прямую а в отрезок А 1 В 1 и на прямую b в отрезок А 2 В 2. По теореме Пифагора 2 A 1 B 1 =A 1 B 12+A 2 B 22; 3) По теореме о проекциях отрезки А 1 В 1 A c A 3 и А 2 В 2 – это проекции отрезка АВ на B прямые a и b. А 3 В 3 АС. q C А 3 В 3=АС; B 3 B 2 A 2 4) Заменяя длины АС и А 1 В 1 B 1 длинами проекций А 1 В 1, b p B 1 А 2 В 2, А 3 В 3, получаем A 1 а равенство: A 1 AB 2=A 1 B 12+A 2 B 22+A 3 B 32

Всегда хочется быть выше перед страхом казаться неумелым… Будь уверен в себе все получится!!!