Простой граф Пара V G E G называется простым графом

Простой граф Пара (V(G), E(G)) называется простым графом, если n V(G) - непустое конечное множество элементов, называемых вершинами (или узлами, или точками), a n E(G) – конечное множество неупорядоченных пар различных элементов из V(G), называемых ребрами (или линиями). n

n G=(V(G) , E(G) ) V(G) = {и, v, w, z} E(G) ={ {и, v}, {v, w}, {u, w}, {w, z} } n ребро {v, w} соединяет вершины v и w n n

n Графом G называется пара (V(G), E(G)), где V(G) — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, a E(G) — конечное семейство неупорядоченных пар элементов из V(G) (не обязательно различных), называемых ребрами.

Орграфом D называется пара (V(D), A(D)), где n V(D) — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, n A(D) — конечное семейство упорядоченных пар элементов из V(D), называемых дугами (или ориентированными ребрами). n Дуга, у которой вершина v является первым элементом, а вершина w – вторым, называется дугой из v в w (обозначается (v, w)). n Дуги (v, w) и (w, v) различны! n

R={(и, v), (v, w), (w, v), (w, и), (w, z)} n порядок вершин на дуге указан стрелкой. n

n n n n Две вершины u и w графа G называются смежными, если существует соединяющее их ребро (т. е. ребро вида {v, w}) При этом вершины u и w называются инцидентными этому ребру (а ребро — инцидентным этим вершинам). Два различных ребра графа G называются смежными, если они имеют по крайней мере одну общую вершину. Степенью (или валентностью) вершины v графа G называется число ребер, инцидентных v; Степень вершины v обозначается через deg(v) При вычислении степени вершины v договоримся учитывать петлю в v два раза, а не один (если только явно не сказано иное). Deg(v)=0 изолированная вершина Deg(v)=1 висячая (или концевая) вершина.

Лемма о рукопожатиях Суммарная степень всех вершин графа является четным числом — равным удвоенному числу ребер n Если несколько человек обменялись рукопожатиями, то общее число пожатых рук обязательно четно n В любом графе число вершин нечетной степени должно быть четным n

Изоморфизм n Два графа G 1 и G 2 называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное соответствие между множествами их вершин, обладающее тем свойством, что число ребер, соединяющих любые две вершины в G 1, равно числу ребер, соединяющих соответствующие вершины в G 2.

n изоморфны при соответствии u w, и v т, w n, х р, у q, z r

n Подграфом графа G называется граф, все вершины которого принадлежат V(G), а все ребра принадлежат E(G).

Матрица смежности – это двумерный массив N*N

n Наконец, матрицей смежности графа G с множеством вершин {v 1, . . . , vn} (соответствующей данной нумерации вершин) называется матрица А = (aij) размера n × n, в которой элемент аij равен числу ребер в G, соединяющих vi и vj

n n Но в результате всегда получится симметричная матрица из неотрицательных целых чисел, обладающая тем свойством, что сумма чисел в любой строке или столбце равна степени соответствующей вершины (здесь каждая петля учитывается в степени вершины один раз).

Матрица инциденций – это двумерный массив размерности N*M

Для хранения перечня ребер необходим двумерный массив размерности M*2. Строка массива описывает ребро.

Вполне несвязные графы Граф, у которого множество ребер пусто, называется вполне несвязным (или пустым) графом Nn. n N 4 n

Полные графы n n n Простой граф, в котором любые две вершины смежны, называется полным графом. Полный граф с n вершинами обычно обозначается через Кn. Кn имеет ровно n(n – 1)/2 ребер. Графы K 4 и К 5

Регулярные графы Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом. Если степень каждой вершины равна r, то граф называется регулярным степени r. n Регулярные графы степени 3, называемые также кубическими (или трехвалентными) графами n

Платоновы графы n Среди регулярных графов особенно интересны так называемые платоновы графы – графы, образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников — платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Двудольные графы n n Допустим, что множество вершин графа можно разбить на два непересекающихся подмножества V 1 и V 2 так, что каждое ребро в G соединяет какую-нибудь вершину из Vi с какой-либо вершиной из V 2 тогда G называется двудольным графом. Такие графы иногда обозначают G(V 1, V 2), если хотят выделить два указанных подмножества.

n n n Двудольный граф можно определить и подругому – в терминах раски его вершин двумя цветами, скажем красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой — синий. В двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из V 1 соединена с каждой вершиной из V 2; если же это так и если при этом граф G простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается Кт, n где m, n — число вершин соответственно в V 1, и V 2.

Звездный граф Кт, n имеет ровно т+ n вершин и тn ребер. n Полный двудольный граф вида K 1, n называется звездным графом; n звездный граф K 1, 5

Объединение двух графов n n Пусть даны два графа G 1 = (V(G 1), E(G 1)) и G 2 = (V(G 2), E(G 2)), причем множества V(G 1) и V(G 2) не пересекаются; тогда объединением G 1 U G 2 графов G 1 и G 2 называется граф с множеством вершин V(G 1) U V(G 2) и семейством ребер E(G 1) U E(G 2)

Соединение двух графов n соединение графов G 1 и G 2 (обозначаемое G 1+G 2), взяв их объединение и соединив ребрами каждую вершину графа G 1 с каждой вершиной графа G 2

Связные графы n n Граф называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух графов, и несвязным в противном случае. Очевидно, что всякий несвязный граф G можно представить в виде объединения конечного числа связных графов – каждый из таких связных графов называется компонентой (связности) графа G.

Циклические графы n Связный регулярный граф степени 2 называется циклическим графом (или циклом); циклический граф с n вершинами обозначается через Сn.

Колеса n Соединение графов N 1 и Сn– 1, (n >= 3) называется колесом с n вершинами и обозначается Wn.

Дополнение простого граф n Пусть G – простой граф с множеством вершин V(G). Дополнением G графа G называется простой граф с множеством вершин V(G), в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G.

если граф G содержит n вершин, то граф G можно построить, удалив из графа Кn все ребра, принадлежащие G (здесь G считается подграфом Кn). n Дополнение полного графа является вполне несвязным графом n Дополнение регулярного графа -регулярно. n

СОЕДИНЕНИЕ ГРАФОВ n Соединение графов G 1 и G 2 (обозначаемое G 1+G 2), взяв их объединение и соединив ребрами каждую вершину графа G 1 с каждой вершиной графа G 2

Задачи

Цепи и циклы n n Маршрутом в данном графе G называется конечная последовательность ребер вида {V 0, V 1}, {V 1, V 2}, {Vm-1, Vm} (обозначаемая также через V 0 V 1 V 2 …. Vm ) Свойство маршрута: любые два последовательных ребра либо смежны, либо одинаковы

n n n Но не всякая последовательность ребер, обладающая этим свойством, является маршрутом (в качестве примера рассмотрим звездный граф и возьмем его ребра в производном порядке). Каждому маршруту соответствует последовательность вершин V 0, V 1, V 2 … Vm; V 0 называется начальной вершиной, Vm – конечной вершиной маршрута. Таким образом, мы будем говорить о маршруте из V 0 в Vm. Для любой вершины V 0 тривиальным маршрутом, вообще не содержащим ребер, является маршрут из V 0 в V 0.

Длинной маршрута называется число ребер в нем; n Например, маршрут V W X Y Z Z Y W из V в W имеем длину = 7 n n

n Маршрут называется ¨ цепью, если все его ребра различны; ¨ простой цепью, если все вершины V 0, V 1, … Vm различны (кроме, возможно, V 0 = Vm) n n n Цепь или простая цепь замкнуты, если V 0 = V m. Замкнутая простая цепь, содержащая, по крайней мере, одно ребро, называется циклом; В частности, любая петля или любая пара кратных ребер образует цикл.

n n n V V V W W W X Y Z Z X X Y Z X Y Z X V X Y V X V n n n – цепь – простая цепь –замкнутая цепь – цикл длины три называется треугольником

Связные графы n n n Граф G называется связным, если для любых двух его вершин v и w существует простая цепь из v и w. Любой граф можно разбить на непересекающиеся связные подграфы, называемые компонентами (связности), задав следующее отношение эквивалентности на множестве его вершин: две вершины эквивалентны (или связны), если существует простая цепь из одной в другую.

Граф называется несвязным, если число его компонент больше единицы. n Теорема n Граф является связным в смысле определения 2 тогда и только тогда, когда он связен в смысле определения 1. n

Критерии связности n n Теорема. Пусть G — простой граф с n вершинами и k компонентами. Тогда число т его ребер удовлетворяет неравенствам n n — k < m < (n — k)(n—k+ 1)/2 Следствие. Любой простой граф с n вершинами и более чем (n — 1)(n — 2)/2 ребрами связен

Насколько сильно связен связный граф?

n n n Разделяющим множеством связного графа G называется такое множество его ребер, удаление которого приводит к несвязному графу. {е 1 е 2, е 3) и {е 3, e 6, e 7, e 8} - разделяющие; Разрезом называется такое разделяющее множество, никакое собственное подмножество которого не является разделяющим. В рассмотренном выше примере разрезом будет только второе разделяющее множество. {е 3, e 6, e 7, e 8} - разрез

n n n Если разрез состоит из единственного ребра е, то е называется мостом, или перешейком В произвольном графе G разделяющим множеством называется такое множество ребер, удаление которого увеличивает число компонент G. Разрезом в G называется разделяющее множество, никакое собственное подмножество которого не является разделяющим.

Задачи

ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ n n n Связный граф G называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро; Такая цепь называется эйлеровой цепью; Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым;

Лемма. Если степень каждой вершины графа G не меньше двух, то G содержит цикл. n Теорема. Связный граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина в G имеет четную степень. n

n Следствие. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда семейство его ребер можно разбить на непересекающиеся циклы. n Следствие. Связный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в нем не более двух вершин имеют нечетные степени.

Алгоритм Флёри n n n Теорема. Пусть G — эйлеров граф; тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к эйлеровой цепи графа G. Выходя из произвольной вершины и, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая лишь следующие правила: (i) стираем ребра по мере их прохождения и стираем также изолированные вершины, которые при этом образуются; (ii) на каждом этапе идем по мосту только тогда, когда нет других возможностей.

Задачи

ГАМИЛЬТОНОВЫ ГРАФЫ n n n Граф, который содержит простую замкнутую цепь (цикл), проходящую через каждую его вершину, называется гамильтоновым; Такой цикл называется гамильтоновым циклом Граф, который содержит простую цепь, проходящую через каждую его вершину, называется полугамильтоновым;

Теорема Дирака n Теорема (Дирак 1952). Если в простом графе с n (> 3) вершинами (v) > n/2 для любой вершины v, то граф G является гамильтоновым.

Задачи

http: //flashgamesspot. com/ru/play/hamiltoncycle-the-goal-of-the-game-is-to-find-th/flash -game/

http: //www. tvidi. ru/ch/Games/Girls. Games/Play/4646/Hamiltonian-Mazes. aspx

ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ Плоским графом называется граф, изображенный на плоскости так, что никакие два его ребра (или, вернее, представляющие их кривые) геометрически не пересекаются нигде, кроме инцидентной им обоим вершины. n Граф, изоморфный плоскому графу, называется планарным n

Изоморфизм n Два графа G 1 и G 2 называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное соответствие между множествами их вершин, обладающее тем свойством, что число ребер, соединяющих любые две вершины в G 1, равно числу ребер, соединяющих соответствующие вершины в G 2.

n Сформулируем необходимое и достаточное условие соответствия двух рисунков одному и тому же графу. Они изображают один и тот же граф тогда и только тогда, когда между вершинами на первом и на втором рисунках существует такое взаимно однозначное соответствие, при котором: n 1) две вершины графа на первом рисунке соединены ребром, если соединена ребром соответствующая пара вершин графа на втором рисунке; 2) две вершины графа на втором рисунке соединены ребром, если соединена ребром соответствующая пара вершин графа на первом рисунке. n

Визначити, чи містять графи, зображені на рис. , підграфи, гомеоморфні графу n (а) K 4; (б) K 5; (в) K 3, 3. n

n Яку найменшу кількість вершин потрібно вилучити з графів, зображених на рис. , щоб кожен із них перетворився в планарний граф.

Теорема n Графы К 5 и K 3, 3 не планарны

Теорема (Куратовский 1930). n Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных К 5 или K 3, 3

n n Элементарным стягиванием называется такая процедура: берем ребро е (вместе с инцидентными ему вершинами, скажем v и w) и «стягиваем» его, т. е. удаляем е и отождествляем v и w, полученная при этом вершина инцидентна тем ребрам (отличным от е), которым первоначально были инцидентны v или w Граф G называется стягиваемым к графу Н, если Н можно получить из G с помощью некоторой последовательности элементарных стягиваний.

Теорема n Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, стягиваемых к К 5 или K 3, 3

Задача 12 k n n n n Для каждой из следующих пар графов установите, можно ли второй из них получиться стягиванием первого: Граф Петерсона и К 3, 3 Kn, Kn-1 W 6, K 4 K 3, 3, K 4 Кубический граф, W 5 Граф Петерсона, W 6 Найдите непланарный граф, который нельзя стянуть к К 5 или K 3, 3 (почему это не противоречит теореме)

Теорема Эйлера о плоских графах n n n Точка плоскости называется дизъюнктной с G, если она не соответствует никакой вершине графа и не лежит ни на каком его ребре Если точка дизъюнктной с G, то определим грань графа , содержащую, как множество всех таких точек плоскости, которые можно соединить с гладкими кривыми, состоящими из точек, дизъюнтных с G. Одна грань неограничена, она называется бесконечной гранью.

Теорема (Эйлер 1752). n Пусть G — связный плоский граф, пусть n, т и f обозначают соответственно число вершин, ребер и граней графа G. Тогда n+f=m+2 V+G=R+2

Следствие n Если G — связный простой планарный граф с (n>=3) вершинами и т ребрами, то т <= Зn — 6

Следствие n Пусть G — плоский граф с n вершинами, т ребрами, f гранями и k компонентами; тогда n+f=m+k+1

Теорема n В любом простом планарном графе существует вершина, степень которой не больше пяти.

Задача

ДВОЙСТВЕННЫЕ ГРАФЫ n n Для данного плоского графа G построим сейчас другой граф G*, называемый (геометрически) двойственным к G. Построение проводится в два этапа; (i) внутри каждой грани Fi графа G выбираем по одной точке vi* — это вершины графа О**; (ii) каждому ребру е из G сопоставляем линию е*, пересекающую e (и никакое другое ребро графа G) и соединяющую те вершины vi*, которые лежат в двух (не обязательно различных) гранях Fi, смежных ребру е, — это ребра графа G*. Заметим, что висячая вершина в G порождает петлю в G* (так же, как и любой мост), и если две грани из G имеют больше одного общего ребра, то граф G* содержит кратные ребра.

n Вершины vi изображены крестиками, ребра е графа G — сплошными линиями, а ребра е* графа G* — пунктирными.

Лемма n Пусть G — плоский связный граф с n вершинами, т ребрами и f гранями, и пусть G*— его геометрически двойственный граф, имеющий n* вершин, m* ребер и f* граней; тогда n* = f, m* = т и f* = n.

Теорема n Пусть G — плоский связный граф; тогда G** изоморфен G.

Задачи

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ДЕРЕВЬЕВ Лесом называется граф, не содержащий циклов; n Связный лес называется деревом. n

Теорем Пусть граф Т имеет n вершин. Тогда следующие утверждения эквивалентны: n n n (i) Т является деревом; (ii) Т не содержит циклов и имеет n — 1 ребер; (iii) Т связан и имеет n — 1 ребер; (iv) T связен и каждое его ребро является мостом; (v) любые две вершины графа Т соединены ровно одной простой цепью; (vi) T не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, мы получаем ровно один цикл.

n Заметим, что по лемме о рукопожатиях сумма степеней всех я вершин дерева равна удвоенному числу его ребер (2 n — 2); отсюда следует, что при n > 2 дерево, имеющее n вершин, всегда содержит не менее двух висячих вершин.

Часть вершин и все инцидентные им ребра называются подграфом; n все вершины и часть инцидентных им ребер называется суграфом. n Остовным деревом называется связный суграфа, не имеющий циклов. n

n Известно (из упр. 5 с), что в связном графе G удаление одного ребра, принадлежащего некоторому выбранному циклу, не нарушает связности оставшегося графа. Применим эту процедуру к одному из оставшихся циклов, и так до тех пор, пока не останется ни одного цикла. В результате получим дерево, связывающее все вершины графа G; оно называется остовным деревом 1) графа G. Пример графа и одного

6 6 2 3 4 7 8 1 10 9 5 5 4 2 11 3

Прима-Краскала n n Задача: соединить N городов телефонной сетью так, чтобы длина телефонных линий была минимальная. n Та же задача: дан связный граф с N вершинами, веса ребер заданы весовой матрицей W. Нужно найти набор ребер, соединяющий все вершины графа (остовное дерево) и имеющий наименьший вес.

n Проблема: как проверить, что 1) ребро не выбрано, и 2) ребро не образует цикла с выбранными ребрами. n Решение: присвоить каждой вершине свой цвет и перекрашивать вершины при добавлении ребра. n Алгоритм: n - покрасить все вершины в разные цвета; n - сделать N-1 раз в цикле: n - выбрать ребро (i, j) минимальной длины из всех ребер, соединяющих вершины разного цвета; n - перекрасить все вершины, имеющие цвет j, в цвет i. n - вывести найденные ребра. n n n