ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Немного истории На

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Немного истории…

На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась её вспомогательным разделом. Астрономы при нахождении расстояний до планет и звёзд использовали свойства треугольника. Так возникла наука тригонометрия - наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э. ) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э. ). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов.

Начиная с XVII в. , тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707 -1783) членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

ТЕСТЫ

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! ЗАДАНИЕ 1 I вариант y II вариант 1 Найдите правильный вариант определения 1 x Варианты ответов 1 2 3 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! ЗАДАНИЕ 2 I вариант II вариант Знаки какой из тригонометрических функций изображены на рисунке - + ++ - - Варианты ответов 1 2 3 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! ЗАДАНИЕ 3 I вариант II вариант Выберите правильный вариант записи формулы Варианты ответов 1 2 3 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! ЗАДАНИЕ 4 I вариант II вариант Укажите область изменения функции 1 Варианты ответов 2 3 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! ЗАДАНИЕ 5 I вариант II вариант Укажите основной период функции Варианты ответов 1 2 3 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! ЗАДАНИЕ 6 I вариант II вариант Назовите область значений функции Варианты ответов 1 2 3 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! I вариант II вариант Правильные варианты ответов 2 -2 -4 -3 -1 -3 1 -1 -2 -4 -3 -2

№ I вариант II вариант 1 2 3 4 5 6 + +

РАЗМИНКА

Как правильно сказать: "9 и 7 будет 15“ или "9 плюс 7 равно 15"? Электропоезд едет с востока на запад. Набрав скорость, поезд делает 60 км/ч. В том же направлении – с востока на запад – дует ветер, но со скоростью 50 км/ч. В какую сторону относит дым поезда? Может ли дождь идти 2 дня подряд?

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. Примеры.

Простейшие тригонометрические уравнения Решение уравнения Рассмотрим взаимное расположение графиков функций 1 -1

Рассмотрим частные случаи нашего уравнения

Систематизируем полученные результаты в таблицу

Решение уравнения при Таким образом получаем совокупность двух серий решений , которые можно объединить в одну формулу

Пример 1. Решение. Получаем частный случай, значит Выразим из полученного равенства: Окончательно имеем Ответ:

Пример 2. Решение. Применяя свойство нечетности синуса, получим Следовательно, Ответ:

Делу время, потехе… Из гнезда вылетели три ласточки. Какова вероятность того, что через 15 секунд они будут находиться в одной плоскости? В 12 -этажном доме есть лифт. На первом этаже живет всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое. Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других?

Решение уравнения Как и в предыдущем случае при и при графики функций и не имеют общих точек, следовательно уравнение корней не имеет 1 -1

Рассмотрим частные случаи уравнения

Занесем полученные результаты в таблицу

Получили совокупность двух серий решений , которые можно объединить в одну формулу

Пример. Решите уравнение Решение. Учитывая четность косинуса, получим Следовательно, Ответ:

Задание 1. Варианты ответов 1. 2. 3. 4. Показать решение Выход

НЕПРАВИЛЬНО! попробуй еще раз!

ПРАВИЛЬНО!

Задание 2. Варианты ответов 1. 2. 3. 4. Показать решение Выход

НЕПРАВИЛЬНО! попробуй еще раз!

ПРАВИЛЬНО!

Задание 3. Варианты ответов 1. 2. 3. 4. Показать решение Выход

НЕПРАВИЛЬНО! попробуй еще раз!

ПРАВИЛЬНО! Выход

Задание 1. Решение. ПРОДОЛЖИТЬ

Задание 2. Решение. ПРОДОЛЖИТЬ

Задание 3. Решение. Выход