Пропозициональная логика Основы логики высказываний. План изучения темы

Пропозициональная логика Основы логики высказываний

План изучения темы Высказывание и его отличие от предложения и суждения (повторение). Логическое следование и логическая форма (повторение). Дедуктивная логика и ее задачи (повторение). Структура формальной теории (повторение). Традиционная силлогистика и пропозициональная логика как формальные теории. Семантика основных пропозициональных констант. Силлогизмы в пропозициональной логике. Равносильные формулы (теорема о равносильной замене). Естественный вывод в пропозициональной логике. Модальные приложения логики высказываний.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - предложение, выражающее определенное суждение ПРЕДЛОЖЕНИЕ – синтаксическая форма естественного или формального языка языка СУЖДЕНИЕ – логическая форма мысли

ВЫСКАЗЫВАНИЕ предложение, выражающее суждение ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ - не содержащие логических постоянных СЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ - высказывания, которые содержат логические постоянные ФОРМЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ - неполные высказывания, которые содержат предметные переменные

Христианский пример (1.1) Все христиане празднуют Рождество Некоторые граждане РФ – христиане Некоторые граждане РФ празднуют Рождество (1.2) Если некоторые граждане РФ – христиане, а все христиане празднуют Рождество, Значит, некоторые граждане РФ празднуют Рождество

Иудейский пример (2.1) Христиане празднуют Рождество, и не празднуют Хануку, а в этой стране празднуют Хануку, и не празднуют Рождество, значит, в этой стране христиане не живут. 2.2. (ХрР   ХрХ)  (СтрХ   СтрР)   ЖХр (2.3) Хр а Р Хр е Х Стр а Х Стр е Р Стр е Хр

Коран-пример (3.1) Если ваши книги согласны с Кораном, то они излишни. Если ваши книги не согласны с Кораном, то вредны. Если ваши книги излишни или вредны, то их следует уничтожить. Следовательно, ваши книги следует уничтожить. p  q p  r (r  q) s s

Логическое следование Отношение между логическими формами высказываний Из Г логически следует В, если и только если при любой интерпретации параметров в составе Г и В, при которой все выражения из Г принимают значение "истина", выражение В также примет значение "истина"

Дедуктивная логика выделение и систематизация класса логических законов выделение и систематизация форм правильных умозаключений (таких умозаключений, в которых заключения логически следуют из посылок)

Логическая теория Язык логической теории (определение формального языка) + правило построения формул (определение правильно построенной формулы) Синтаксис логической теории (правила получения формул одних формул из других) Семантика логической теории (правила приписывания значений формулам)

Логические теории строятся в рамках формализованных языков решают следующие задачи 1) выделяют во множестве формул языка класс формул, представляющих собой логические законы, 2) выделяют во множестве переходов (от формул F1, F2, … Fn к формуле Q) F1, F2, … Fn Q класс таких переходов, которые являются формами правильных умозаключений, т.е. в которых формула Q логически следует из F1, F2, … Fn

Язык логической теории логические символы — специальные знаки для логических терминов, нелогические символы — параметры, предназначенные для замещения простых высказываний или нелогических терминов различных категорий, технические символы (скобки).

Язык логики высказываний 1. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ БУКВЫ (пропозициональные переменные): р, q, r, s, t, p1, q1, r1, s1, t1, p2, q2, … 2. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗНАКИ (логические союзы): ~ отрицание;  конъюнкции;  дизъюнкции;  импликации;  эквивалентности,  строгой дизъюнкции. 3. ТЕХНИЧЕСКИЕ ЗНАКИ: ( ) , . 4. Никаких других знаков в языке логики высказываний нет.

Символические обозначения пропозициональной логики

Формула логики высказываний 1. Пропозициональная переменная есть формула; 2. Если А — произвольная формула, то ~А— тоже формула; 3. Если А и В — произвольные формулы, то (А  В), (A  B); (А  В), (А  В), (А  В) — тоже формулы. 4. Никаких других формул, кроме указанных в пп. 1 —3 , в языке логики высказываний нет.

Отрицание

Конъюнкция

Дизъюнкция

Импликация

Исключающая дизъюнкция

Эквивалентность

Семантика основных пропозициональных констант

Виды силлогизмов в логике высказываний (сложные силлогизмы)

Силлогизмы в логике высказываний I

Силлогизмы в логике высказываний II

Чисто условные силлогизмы I Если бояться волков, то в лес не ходить. Если в лес не ходить, то грибов не видать. Если бояться волков, то грибов не видать. Если ваши книги согласны с Кораном, то они излишни. Если ваши книги излишни, то они вредны. Если ваши книги согласны с Кораном, то они вредны

Чисто условные силлогизмы II Если ваши книги согласны с Кораном, то они вредны. Если ваши книги вредны, то их следует уничтожить Если ваши книги согласны с Кораном, то их следует уничтожить p  q, q  r p  r

Семантическая корректность чисто условных силлогизмов

Пример сложного чисто условного силлогизма (Если) не было гвоздя — подкова пропала, (если) не было подковы, лошадь захромала, лошадь захромала, командир убит, (командир убит), конница разбита, (конница разбита,) армия бежит, (армия бежит,) враг вступает в город, (враг вступает в город,) пленных не щадя, оттого, что в кузнице не было гвоздя.

Условно-категорический силлогизм Если в этой стране официально празднуют Хануку, значит в этой стране иудаизм – господствующая религия В этой стране официально празднуют Хануку Значит, в этой стране в этой стране иудаизм – господствующая религия. Если в этой стране официально празднуют Рождество, значит в этой стране христианство – господствующая религия Неверно, что в этой стране христианство – господствующая религия Значит, неверно, что в этой стране официально празднуют Рождество

Модусы условно-категорического силлогизма I Если в этой стране официально празднуют Хануку, значит в этой стране иудаизм – господствующая религия В этой стране официально празднуют Хануку Значит в этой стране в этой стране иудаизм – господствующая религия. Modus ponens А  В A B

Модусы условно-категорического силлогизма II Если в этой стране официально празднуют Рождество, значит в этой стране христианство – господствующая религия Неверно, что в этой стране христианство – господствующая религия Значит, неверно, что в этой стране официально празднуют Рождество Modus tollens А  В B  А

Семантическая корректность модусов условно-категорического силлогизма

Чисто разделительный силлогизм В этой стране празднуют Рождество или Хануку В этой стране празднуют Хануку или Рамадан Байрам Значит, в этой стране празднуют Рождество или Хануку или Рамадан Байрам А  В В  С С  В  А

Семантическая корректность чисто разделительного силлогизма

Разделительно-категорический силлогизм Ваши книги излишни или вредны. Ваши книги вредны. Значит, неверно, что ваши излишни. А  В В  А modus ponendo tollens Ваши книги излишни или вредны. Неверно, что ваши книги вредны. Значит, ваши книги излишни. А  В  В А мodus tollendo ponens

Семантическая корректность разделительно-категорического силлогизма

Условно-разделительный (лемматический) силлогизм Если волк проголодался, он хочет поймать зайца, если лиса проголодалась, она хочет поймать зайца Если волк или лиса проголодались Зайца хотят поймать. Если удав спит, то он сыт или устал Он не сыт и не устал Он не спит. Если удав спит, он сыт, если удав голоден, у него плохое настроение Удав спит или голоден Он сыт или у него плохое настроение. Если удав сыт, он спит, если попугай рассуждает, у него хорошее настроение. Удав не спит и у попугая нет хорошего настроения Удав не сыт и попугай не рассуждает.

Модусы условно-разделительного (лемматического) силлогизма Простая конструктивная дилемма (А  C)  (В  C) А  В C (А  В)  (А  C)  (В  C)  А Простая деструктивная дилемма Сложная конструктивная дилемма (А  C)  (В  D) А  В C  D (А  В)  (D  C)  (В  C)  (А  D) Сложная деструктивная дилемма

Современная логика теория корректных рассуждений (дедуктивные, индуктивные) логико-семиотические проблемы (применение языка как средства познания мира и средства выражения мысли; выделение категорий языковых выражений в зависимости от типов их значений, а также установление смыслов и условий истинности и ложности высказываний различных видов). логико-методологические проблемы: выработка правил осуществления познавательных процедур (определение, классификация, аналогия, объяснение, полемика), а также способов организации знания, например, научных теорий.

Традиционная и символическая логика 1. Верификация логического значения опытным путем 2. Философская теория истины включена в логическое учение 3. Содержательное и описательное рассмотрения категорий логической формы и логического следования 1. Формальный подход к верификации 2. Теория истины заимствуется из философии; развивается теория истинности 3. Анализ логической формы и (свойств) отношения логического следования при помощи создания формальных теорий

Равносильные формулы Основы пропозициональной логики. Тема 2.

Иудейский пример Х празднуют Р и не празднуют У, эти люди празднуют Р, значит они Х. Христиане празднуют Рождество, и не празднуют Хануку, а эти люди празднуют Рождество, значит, они христиане.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - предложение, выражающее определенное суждение ПРЕДЛОЖЕНИЕ – синтаксическая форма естественного или формального языка языка СУЖДЕНИЕ – логическая форма мысли

ВЫСКАЗЫВАНИЕ предложение, выражающее суждение ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ - не содержащие логических постоянных СЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ - высказывания, которые содержат логические постоянные ФОРМЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ - неполные высказывания, которые содержат предметные переменные

Буддистский пример (Б1) «Без понимания буддизма невозможно понять и великие культуры Востока» (Е.А.Торчинов) (Б2) Или имеется понимание буддизма или отсутствует понимание великих культур Востока (Б3) Неверно, что отсутствует понимание буддизма и имеется понимание великих культур Востока (Б4) Если имеется понимание великих культур Востока, то имеется и понимание буддизма.

Равносильные формулы

Равносильные формулы Пусть А и В — формулы, E1, Е2, ..., Еn список всех пропозициональных переменных, входящих по крайней мере в одну из них. Будем говорить, что А и В — РАВНОСИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ (и писать: А равносильно В, А ≡ В), если при любых логических значениях E1, Е2, ..., Еn логические значения А и В совпадают.

Минимальные таблицы истинности (Б5) Понимание буддизма отсутствует, а при наличии понимания буддизма можно понять и великие культуры Востока (~p  (p  q)) (Б6) При наличии понимания буддизма можно понять не только сам буддизм, но и великую китайскую культуру. (р  (~р  r))

Минимальные таблицы истинности

Основные равносильности классической пропозициональной логики (1-11) ~~ А равносильно A (l) А  В равносильно В  А (2) А  (В  С) равносильно (А  В)  С (3) А  В равносильно В  А; (4) А  (В  С) равносильно (А  В)  С (5) А  (В  С) равносильно (А  В)  (А  С) (6) (В  С)  А равносильно (А  В)  (А  С) (6') А  (В  С) равносильно (А  В)  (А  С) (7) (В  С)  А равносильно (А  В)  (А  С) (7') А  А равносильно А (8) А  А равносильно А (9) ~(А  В) равносильно ~А  ~В; (10) ~(А  В) равносильно ~А  ~В (11)

Основные равносильности классической пропозициональной логики (12-22) А  В равносильно ~(А  ~В) (12) А  В равносильно ~A  B (13) А  В равносильно ~(~A  ~B) (14) A  B равносильно ~(~А  ~В) (15) А  В равносильно (~А  В)  (~В  А) (16) А  В равносильно (А  В)  (~А  ~В) (17) (А  В)  (~А  В) равносильно В; (18) А  (А  В) равносильно А; (19) А  (А  В) равносильно А; (20) (А  C)  (В  ~C) равносильно (А  C)  (В  ~C)  (А  В) (21) (А  C)  (В  ~C) равносильно (А  C)  (В  ~C)  (А  В) (22)

Основные равносильности классической пропозициональной логики (23-34) А  В равносильно ~В  ~А (23) А  В равносильно A  B (24) А  В равносильно (A  B) (25) А  В равносильно (В  A)  (A  B) (26) А  В равносильно (A  B)  (~A  ~B) (27) А  В равносильно ~А  В (28) А  В равносильно ~(А  ~В) (29) ~(А  В) равносильно (А  ~В) (30) А  В равносильно ~(~А  ~В) (31) А  В равносильно ~(~А  ~В) (32) ~(А  В) равносильно (~А  ~В) (33) ~(А  В) равносильно (~А  ~В) (34)

Теорема о равносильной замене Пусть АB обозначает формулу А с выделенным вхождением подформулы В, а АB — формулу, которая получается из А заменой выделенного вхождения В в А на формулу В. Тогда если В равносильно В, то АB равносильно АB .

Пример равносильной замены (Б1) «Без понимания буддизма невозможно понять и великие культуры Востока» ~p  ~q равносильно q  p (23) ~p  ~q равносильно p  ~ q (1), (13) ~p  ~q равносильно ~(~ p  q) (13) ~p  ~q равносильно ~p  (~q  (~q  p)) (20) ~p  ~q равносильно p  (~q  (~q  p)) (1),(13),(19)

План доказательства теоремы о равносильной замене Строим для формул АB и АB таблицы Т и Т . Случай 0. АB – пропозициональная переменная. Случай 1. АB имеет вид ~СB. Случай 2. АB имеет вид 2а) СB  D или 2б) С  DB.

Случай 0. АB – пропозициональная переменная, и АB совпадает с В, а АB — с В. Значит, АB равносильно АB .

Случай 1. АB имеет вид ~СB, а АB имеет вид ~СB. Индуктивное предположение. Пусть теорема верна для СB (=СB равносильно СB). Построим для формул СB и СB соответственно таблицы T1 и T1. Т.к. по ИП СB равносильно СB. (индуктив. шаг) заключительные столбцы таблиц T1 и T1. .совпадают. Значит, теорема верна и для АB и АB .

Случай 2а. (Индуктивное предположение) Пусть теорема верна для СB (=СB равносильно СB). Построим для формул D, СB и СB соответственно таблицы Т2, T1 и T1. Таблица T1 содержится в Т, T1 — в T, а Т2 в Т и Т. Т.к. по ИП СB равносильно СB. (индуктив. шаг) заключительные столбцы таблиц T1 и T1. .совпадают. Значит, на основании таблицы для  заключительные столбцы логических значений для СB  D в Т и для СB  D в Т тоже совпадают. След,, СB  D равносильно СB  D, т. е. АB равносильно АB .

Логическое следование и логический вывод Естественный вывод в логике высказываний. Лекция 1

План изучения темы Логический вывод и логическое следование Система естественного вывода N Доказательство и его виды в системе N

Основные определения Кратная импликация Допущение (условие, гипотеза) Заключение Правило вывода (следования) Прямое доказательство Косвенное доказательство

Логическое следование (повторение) Отношение между логическими формами высказываний Из А1, А2,….Аn логически следует С, если и только если при любой интерпретации параметров в составе А1, А2,….Аn и С, при которой все выражения из А1, А2,….Аn принимают значение "истина", выражение В также примет значение "истина" A1, A2, ... Аn, С

Логические законы и ТИ формулы Логические истинные (ТИ) высказывания - истинные в силу своей логической формы Логический закон - такая логическая форма высказывания, которая принимает значение "истина" при любой интерпретации параметров, входящих в ее состав.

Логическое следование и логический закон Из А1, А2,….Аn логически следует С, если и только если при любой интерпретации параметров в составе А1, А2,….Аn и С, при которой все выражения из А1, А2,….Аn принимают значение "истина", выражение В также примет значение "истина" Логический закон - такая логическая форма высказывания, которая принимает значение "истина" при любой интерпретации параметров, входящих в ее состав.

Кратная импликация Кратной импликацией называется формула вида A1  (A2 ... (Аn  С) ...) Однократная импликация A1  С Двукратная импликация A1  (A2  С)

Правила вывода Правило вида A1, A2, ... Аn, С называется корректной фигурой перехода, если формула A1  (A2 ... (Аn  С) ...) является тождественно-истинной формулой

Система естественного вывода N Формальный язык ППФ Правила вывода Правила построения доказательства

Правила построения прямого доказательства A1  (A2  ... (Аn  С) ...) На любом шаге построения можно написать: 1) одну из формул A1, A2, ..., Аn в качестве допущения; 2) формулу, следующую из ранее написанных формул по одному из правил логического следования; 3) ранее доказанную формулу. Прямое доказательство формулы (*) считается построенным, если в соответствии с пп. 1 — 3 получена последовательность формул, оканчивающаяся формулой С.

Коран-пример I Если ваши книги согласны с Кораном, то они излишни. Если ваши книги не согласны с Кораном, то вредны. Если ваши книги излишни или вредны, то их следует уничтожить. Следовательно, ваши книги следует уничтожить. p  q p  r (r  q) s s ((p  q)  ( p  r)  (r  q) s)))  s

Коран-пример II ((p  q)  ( p  r)  ((r  q) s)))  s Доказательство. (p  q)  ( p  r)  ((r  q) s) допущ. p  q (УК, 1)  p  r (УК, 1) (r  q)  s (УК, 1) p допущ.  p допущ. q МП 5, 2 r МП 6, 3 r  q ВД 7,8 s МП 9, 4

Что такое эвристика вывода (доказательства)? Эвристика – содержательное правило построения вывода, позволяющее подбирать допущения, р.д.ф. и иные шаги построения вывода (доказательства) так, что Минимизируется количество шагов построения Выбранные шаги построения носят необходимый характер

Эвристики построения вывода в системе N Предельный анализ по схеме кратной импликации Использование УК (при наличии в антецедентах формулы вида А  В) Использование производных правил (доказательств по частям и разбором частных случаев) Использование косвенных доказательств Последовательное применение эвристик