Пропозиции высказывания Одно из базовых понятий языка пропозициональной

Пропозиции (высказывания) Одно из базовых понятий языка пропозициональной логики – пропозиция. Пропозиция – то состояние дел в мире, о котором говорится в предложении. В классической (двузначной) логике пропозиция всегда либо истинна, либо ложна.

Высказывания делятся на простые и сложные (составные). Логические соотношения между простыми высказываниями определяются логическими связками, для обозначения которых могут использоваться, в частности, следующие языковые средства: и, или, следовательно, значит, поскольку, но, так как, если … то и т. д. Например, Если p и q, то s

Пропозициональная логика (сентенциональная логика, логика высказываний) 1. Словарь: Синтаксис • пропозициональные переменные: p, q, g, s. . . • логические связки (логические символы ): , , , • Скобки (, ) • больше никаких символов в словаре нет

Названия логических символов: - конъюнкция (логическое «и» ), используется также символ &, - дизъюнкция (логическое «или» ), - импликация (логический условный оператор «если …, то …» ), используется также символ , - отрицание ( «неверно, что …» )

2. Правильные выражений языка пропозициональной логики 1. Любая пропозициональная переменная является правильным выражением данного языка. 2. Если и - произвольные правильные выражения данного языка, то , , ( ), ( ) - также правильные выражения. 3. Больше никаких правильных выражений в этом языке нет.

Сводная таблица истинности Значения переменных Логические функции p q p q p 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1

Тождественно-истинная формула логики высказываний (или «тавтология» , «общезначимая формула» ) – это формула, являющаяся истинной при любых наборах значений входящих в неё пропозициональных переменных. Например: А А А В В А

Тождественно-истинные формулы логики высказываний называют законами этой логики В истинности каждой такой формулы можно убедиться, построив соответствующую ей таблицу истинности. Запись ╞А означает, что формула А общезначима. Например, ╞А (В А) ╞А А В

Некоторые законы логики высказываний Закон тождества: А А Закон отрицания противоречия: (А А) Закон исключённого третьего: А А Законы снятия и введения двойного отрицания: А А А

Законы де Моргана связывают конъюнкцию и дизъюнкцию: а) отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний: ¬(А В) (¬А ¬В) б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний: ¬(А В) (¬А ¬В)

Закон контрапозиции устанавливает связь между прямой и обратной импликацией. При переходе от прямой импликации к обратной происходит перестановка членов импликации и замена каждого из них его отрицанием: (А → В) (¬В → ¬А)

Законы, позволяющие выразить импликацию через дизъюнкцию и отрицание (конъюнкцию и отрицание): (А В) ( А В) (А В)

Перечисленные выше законы логики высказываний – это схемы соотношений между высказываниями. Такие схемы можно превращать в высказывания, подставляя формулы вместо символов пропозициональных переменных. Например, если вместо А подставить p q, а вместо В - p q, то схему (А → В) (¬В → ¬А) можно переписать так: (p q → p q) (¬(p q) → ¬(p q))

РАССУЖДЕНИЯ • Дедуктивные рассуждения • Индуктивные рассуждения

Дедуктивное рассуждение В дедуктивном рассуждении из чётко сформулированных утверждений (посылок) выводится столь же чётко сформулированное утверждение (следствие). Дедуктивный вывод абсолютно достоверен в следующем смысле: если мы уверены в истинности посылок, то мы можем быть столь же уверены в истинности следствия.

Для построения рассуждений большое значение имеет импликация p q p – антецедент ( «предыдущий» ), q – консеквент ( «последующий» ) В классической логике высказываний антецедент и консеквент не обязательно должны быть связаны по смыслу. В неклассических логиках может использоваться строгая импликация, предполагающая наличие такой связи.

Примеры правил вывода. Правило отделения, или утверждающий модус (modus ponens, буквально «положительный способ» ) разрешает из двух высказываний вида А и А→В вывести заключение В: А, А → В В Горизонтальная черта отделяет заключение от посылок. В качестве посылок выступают антецедент А и сама импликация А → В, заключением служит консеквент импликации.

Рассуждение от противного (modus tollens, буквально «отрицательный способ» ) разрешает из двух высказываний вида А→В и В вывести заключение А: А → В, А Здесь в качестве посылок выступают отрицание консеквента В и сама импликация А → В, заключением служит отрицание антецедента импликации.

Правило подстановки разрешает вместо любой пропозициональной переменной подставить любое другое высказывание. Если исходная формула была истинной, то в результате подстановки также получится истинное высказывание. Например, воспользовавшись законом исключённого третьего A A, можно получить истинное высказывание вида (p q)

Дедуктивное утверждение истинно, если: 1) истинны посылки, из которых оно выводится, 2) правилен логический вывод.

Теория множеств Множество - это совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое

Способы задания множеств: 1. Перечислением: например, А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр 2. Заданием общего свойства всех элементов множества. Например, множество всех букв латинского алфавита можно определить так: В = {х | х – буква латинского алфавита}

Численность множества М (или мощность множества М) – количество элементов, составляющих множество М, обозначается I М I 1. L – множество букв, из которых состоит слово «анаконда» . Какова численность элементов множества L? 2. H – множество букв, из которых состоит слово «канон» . Сравните численности множеств L и H.

Элемент а принадлежит множеству М. Обозначения: а М, с Е. Элемент с не принадлежит множеству М, с М. М а D с Е Множество D содержится в множестве М. Обозначается D М Множество Е не содержится в множестве М. Обозначается Е М

Операции над множествами Объединение (или сумма) множеств А и В – это множество С=А В, такое, что: 1) каждый элемент множества А содержится в С, 2) каждый элемент множества В содержится в С, 3) никаких других элементов в С нет. А В

Пересечение множеств А и В – это множество С=А В, такое, что: 1) если элемент х содержится как в А, так и в В, то х содержится в С, 2) никаких других элементов в С нет. А В

Разность множеств А и В – это множество С=А В, такое, что: 1) если элемент х содержится в А, но не содержится в В, то х содержится в С, 2) никаких других элементов в С нет. А В

Отношения и функции Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М. : Наука, 1971.

Пусть М, Q – некоторые множества; D - множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар х, у , где х – любой элемент из М, у – любой элемент из Q. Множество D называют декартовым произведением множеств М, Q и обозначают так: D=М Q

Бинарным (двухместным) отношением между элементами множеств М и Q называется любое подмножество R множества D=М Q. Вместо х, у R можно писать х. Rу Если х, у R, то будем говорить, что соотношение х. Rу не выполнено

Некоторые из возможных свойств отношений: Рефлексивность, антирефлексивность Симметричность, асимметричность, антисимметричность Транзитивность, антитранзитивность

Если отношение R рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется эквивалентностью. Эквивалентность есть отношение одинаковости объектов (с определённой точки зрения)

Отношение R называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично Толерантность есть отношение сходства или смежности объектов (с определённой точки зрения)

Отношение R называется отношением строгого порядка, если оно асимметрично, антирефлексивно и транзитивно. Например, отношения «больше» , «меньше»

Отношение R называется отношением нестрогого порядка, если оно антисимметрично, рефлексивно и транзитивно. Например, отношения «больше или равно» , «меньше или равно»

Комбинаторика и теория вероятностей

Количество перестановок из n элементов без повторений: n! Количество перестановок из n элементов с повторениями: n P = n , …, n 1 2 k n! n 1! n 2! … nk! где ni – количество повторений i-го элемента, k<n

Количество вариантов выборки n – общее число элементов, k – количество элементов в выборке C учётом порядка С возвращениями Без возвращений k S n = nk n! k Аn= (n-k)! Без учёта порядка ~ k k С n = C n+k-1 k С n= n! k!(n-k)!

Пусть нас интересует случай, когда выполняется хотя бы один из возможных исходов А или В. Такое событие называется суммой событий А и В, обозначается А+В. Произведением двух событий А и В называется ситуация, когда выполняются сразу оба события А и В, обозначается АВ

Возможны такие варианты: 1) События А и В несовместимы, тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (правило сложения вероятностей) 2) События А и В совместимы, тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность, которую имеет событие В в том случае, когда известно, что событие А произошло. Обозначение: РА(В) Если события А и В независимы, то РА(В)=Р(В)

Пусть событие А происходит при n равновероятных исходах опыта, причём среди этих исходов в m случаях происходит также и событие В. Тогда m РА(В)= n Для таких событий выполняется соотношение: Р(АВ)=Р(А) РА(В) Отсюда РА(В)= Р(АВ) Р(А)