Произвольная система сил Занятие 3 Приведение

Произвольная система сил Занятие № 3

Приведение системы сил к центру • Пусть имеется произвольная система сил Fi, приложенных в точках тела, положение которых относительно некоторого центра О определяется радиусвекторами ri. Тогда данную систему сил можно упростить с помощью т. н. приведения к центру О • В результате этого она заменяется силой и парой сил с моментом Сила F – главный вектор системы сил, момент L – главный момент системы.

Изменение центра приведения • • Главный вектор системы не изменится Он называется первым инвариантом системы сил Главный момент изменится Вторым инвариантом системы сил является скалярное произведение главного вектора системы на ее главный момент. Иногда в качестве второго инварианта берут проекцию главного момента на направление главного вектора

Главный момент L всегда можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль главного вектора F, а другая – перпендикулярно ему. Так как главный момент зависит от центра приведения, а его продольная составляющая L* – нет, то, следовательно, с переменой центра приведения будет меняться только перпендикулярная составляющая L. Можно найти такой центр приведения, для которого перпендикулярная составляющая обратится в нуль, и главный момент L будет коллинеарен главному вектору F. Такая совокупность силы и момента называется динамическим винтом или динамой. К динаме приводится всякая система сил, для которой второй инвариант не равен нулю.

Возможные результаты приведения (по второму инварианту) • 1. L F 0. Система сил приводится к динаме. • 2. L F = 0. Возможны частные результаты: • a) F = 0, L 0. Система сил приводится к паре сил с моментом L. • b) F 0, L = 0 или L перпендикулярен F. Система сил приводится к равнодействующей величины F. • c) F = 0, L = 0. Система сил находится в равновесии.

Уравнения равновесия системы сил • Условие равновесия произвольной системы сил • В общем случае в проекциях на оси координат из этих двух векторных уравнений получается 6 скалярных уравнений равновесия. • В плоском случае условие для сил дает два скалярных уравнения, а условие для моментов – одно, т. к. векторы Li перпендикулярны плоскости, в которой лежат силы. Уравнение для моментов сводится к алгебраической сумме моментов сил (со своими знаками).

Условия равновесия плоской системы сил • Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей, произвольно взятых в плоскости действия сил, равнялась нулю, и сумма моментов всех сил относительно любого произвольно взятого в той же плоскости центра равнялась нулю. • Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каждого из трех произвольных, но не лежащих на одной прямой, центров равнялась нулю (теорема о трех моментах). • Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных центров и сумма проекций этих сил на произвольную ось, не перпендикулярную к прямой, соединяющей эти центры, равнялась нулю. Так как в плоском случае число уравнений равновесия равно трем, то система сил будет статически определимой, если число неизвестных не превысит трех.

Задача № 1 (с известными направлениями сил) Однородный гладкий стержень АВ веса 100 Н, опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим – на гладкую плоскость, наклоненную под углом 30 к горизонту. У конца В стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и несущей груз Р; часть веревки ВС параллельна наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы давления NA и NB на пол и наклонную плоскость.

• Решение задачи начинается с расстановки всех сил, действующих на стержень АВ. Такими являются: • вес стержня Q=100 Н, • сила натяжения каната ВС, равная весу груза Р, • нормальные реакции плоскостей в точках А и В. • Выбрав направления координатных осей так, как указано на рисунке, составляем первые два уравнения равновесия:

• При составлении уравнения для моментов с целью его упрощения за центр приведения обычно берут такую точку, через которую проходят линии действия возможно большего числа неизвестных сил. Моменты этих сил относительно такой точки равны нулю. В рассматриваемой задаче это точка В, в которой приложены неизвестные силы NB и Р. • Вес стержня приложен в его центре тяжести, который совпадает с серединой стержня. Если его плечо относительно точки В обозначить а, то плечо силы NА равно 2 а • Если положительным объявить момент, вращающий стержень против часовой стрелки вокруг точки В, то уравнение для моментов примет вид NA 2 а - Q а = 0 или 2 NA - Q = 0

После подстановки всех необходимых чисел система уравнений равновесия выглядят следующим образом: Из этой системы определяются все неизвестные величины:

Задача № 2 (с неизвестными направлениями сил) Кран для подъема тяжестей состоит из балки АВ, нижний конец которой соединен со стеной шарниром А, а верхний удерживается горизонтальным тросом ВС. Определить натяжение Т троса ВС и давление на опору А, если известно, что вес груза на кране Р=2 к. Н, вес балки АВ Q=1 к. Н и приложен в середине

Задача № 3 (с несколькими телами) Мост состоит из двух частей, связанных между собой шарниром А и прикрепленных к береговым устоям шарнирами В и С. Вес каждой части моста 40 к. Н; их центры тяжести D и Е. На мосту находится груз Р=20 к. Н; размеры указаны на рисунке. Определить силу давления в шарнире

Равновесие левой части моста На левую часть моста действуют следующие силы: • вес самой этой части Q, приложенный в точке D • вес лежащего на ней груза Р • реакция опоры B (XB, YB) • реакция шарнира А (XА, YА) Уравнения равновесия для левой части выглядят следующим образом: Моменты, входящие в последнее уравнение, вычислены относительно точки В; необходимые размеры взяты из рисунка.

Равновесие правой части моста На правую часть моста действуют следующие силы: • вес самой этой части Q, приложенный в точке Е • реакция опоры С (XС, YС) • реакция шарнира А. Согласно III закону Ньютона, в шарнире действуют те же силы (XА, YА), но направленные противоположно. Уравнения равновесия для правой части: Моменты, входящие в последнее уравнение, вычислены относительно точки С; необходимые размеры взяты из рисунка.

При объединении обоих систем уравнений получается система из 6 уравнений для 6 неизвестных: ХА, YA, ХB, YB, ХС, YС. После подстановки чисел она выглядит следующим образом: Решения этой системы – следующие: ХА= ХB= ХС=20 к. Н, YA=8 к. Н, YB=52 к. Н, YС=48 к. Н.