Производные высших порядков Производная первого и второго

Производные высших порядков

Производная первого и второго порядка Производная y′=f ′(x) функции y=f(x) есть функция от x и называется производной первого порядка. Если f ′(x) дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается y′′ ( f ′′ (x), ). y′′= (y′)′ 2

Производная третьего порядка Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается y′′′ ( f ′′ (x), ). y′′′ = (y′′)′ 3

Производная n-порядка Производные высших порядков Производная n-порядка называется производная от производной (n-1) порядка: y(n) = (y(n-1))′ Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются цифрами или числами в скобках (y(4) или y. IV – производная 4 порядка). 4

Пример Найти производную 13 порядка функции y=sin(x) Решение 5

Пример 6

Механический смысл производной второго порядка Пусть материальная точка М движется по закону S=f(t). Как известно, что V=St′ Используя аналогичные преобразования, получим – среднее ускорение – мгновенное ускорение a=Vt′ 7

Производные высших порядков заданных неявно Если неявная функция задана F(x, y)=0, то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно это уравнение продифференцировать по x, рассматривая при этом y как функцию x. Получена производная первого порядка. Аналогично с производными высших порядков (только уже от производной предыдущего порядка) 8

Пример Найти Решение 9

Пример 10

Производные высших порядков, заданных параметрически Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана параметрически в виде двух уравнений где t – параметр. 11

Производные высших порядков, заданных параметрически Как известно, 12

Пример Найти производную второго порядка функции Решение 13