Производная МБОУ Средняя школа 3 Тетуева Г

Производная. МБОУ «Средняя школа № 3» Тетуева Г. Э. Высшая кв. категория

Найдите производные функций: Правильный ответ Правильный ответ

Геометрический смысл производной

Определите по графику функции у = f (x): у 1. Чему равен угловой коэффициент касательной в точке М? -1 0 2. Чему равна производная в точке М ? -1 0 М 3/4 подсказк а 1 135 о а 0 М 1 М b х

Функция y=f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. У всех прямых, параллельных К графику функции прямой y = 3 + x, угловой провели все коэффициент равен 1. касательные, параллельные прямой Поэтому найдём, сколько раз y = 3 + x (или производная принимает совпадающие с ней). значение, равное 1. Найдите количество Для этого найдём число точек графика функции, точек пересечения графика в которых проведены эти производной с прямой y = 1 касательные. Таких точек ровно 5. решение Ответ: 5 у у=1 1 а 0 1 bх

Функция y=f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. Найдем угловой Найдите количество точек графика функции в коэффициент k = tg a: которых касательные tg 135 o = -1. Найдём, сколько наклонены под углом 135 о раз производная принимает к положительному значение, равное -1. направлению оси абсцисс. Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = -1 Таких точек ровно 5. решение Ответ: 5 у 1 b а 0 х 1 у = -1

Функция y=f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. у У всех прямых, параллельных К графику функции провели прямой y = 4 -2 x, угловой все касательные, коэффициент равен -2. параллельные прямой у Найдём, в каких абсциссах = 4 - 2 х (или совпадающие с производная принимает ней). Найдите наибольшую значение, равное -2. из точек абсцисс, в которых Для этого найдём точки проведены эти касательные. пересечения графика производной с прямой y = -2 и выберем точку с наибольшей абсциссой. Это х=4. решение Ответ: 4 1 а 0 1 у = -2 4 b х

Функция y=f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. Найдем угловой Найдите количество точек графика функции в коэффициент k = tg a: которых касательные tg 60 o = . Найдём, сколько наклонены под углом 60 о к раз производная принимает положительному значение, равное . направлению оси абсцисс. Для этого найдём число точек пересечения графика производной с прямой y = Таких точек ровно 2. решение Ответ: 2 у 1 а 0 1 b х

Механический смысл производной

ЗАДАЧА № 1 Материальная точка движется прямолинейно по закону s (t) = 1 - 6 t + 2, 5 t 2 Определить скорость через 2 с. после движения. РЕШЕНИЕ. подсказк а Ответ: 4

ЗАДАЧА № 2 Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р( t ) = t 2/2 + 3 t – 3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. РЕШЕНИЕ. 1) v( t ) = p`( t ) = t + 3, 2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/сек) подсказк а Ответ: 6 моль / сек

Признаки возрастания и убывания функции

Справочные сведения:

Функция y = f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. у 1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. 3. Определите длину промежутка возрастания функции. 5 а 1 0 b 1 х

Функция y = f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. у 1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. 1 а 3. Определите длину промежутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицательный угловой 6 коэффициент? 0 b 1 х

Функция y = f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. у 1. Укажите промежутки убывания функции. 2. Укажите промежутки возрастания функции. а 1 0 3. Определите длину наибольшего промежутка, на котором касательная к графику функции имеет положительный угловой коэффициент? 3 b 1 х

Экстремумы функции

Функция y=f(x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. у 1. Назовите точки максимумов функции. х=0 2. Назовите точки минимумов функции. х = -3; х = 2 1 а b 0 1 х

Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a; b], на рисунке изображен график ее производной. у 1. Назовите точки максимумов функции. х = -3, х = 2 2. Назовите точки минимумов функции. х = 1, х = 3 1 а 0 1 b х

Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a; b], на рисунке изображен график ее производной. 1. Верно ли, что отмеченные точки являются точками максимумов функции? у нет 2. Назовите точки максимумов функции. х=0 3. Верно ли, что отмеченные точки являются точками минимумов функции? 1 а 1 0 bх нет 4. Назовите точки минимумов функции. х = -4, х = 4 5. Как называются оставшиеся точки? точки перегиба х = -2, х = 2

Определение свойств функции по графику её производной

Информация , которую можно получить о функции y = f (x), если задан график её производной Функция убывает на промежутках: (а; -4], [ -3; 0], [1; 2], [3; b] Функция возрастает на промежутках: [-4; -3], [0; 1], [2; 3] Точки экстремума: х = -4; х = -3; х = 0; х = 1; х = 2; х = 3 Точки максимума: х = -3; х = 1; х = 3 Точки минимума: х = -4; х = 0; х = 2 у 1 а 1 0 b х

Функция y = f (x) задана на интервале (a; b), на рисунке изображен график ее производной. 1. В скольких точках касательная к графику функции параллельна оси абсцисс? 5 2. Сколько промежутков возрастания у функции? 3 3. Назовите точки максимума. а х = -3 ; 3 4. Назовите точки минимума. х = 1; 4 5. Как называется точка х = -1? Точка перегиба. у 1 0 1 b х

Найдите функцию по графику её производной у у 1 0 1 у 1 х 1 0 2 х 1 у 1 0 х 1 1 0 3 х 1 4

Задача 1. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-8; 3) В какой точке отрезка [-3; 2] функция принимает наибольшее значение. Верно! 1 y=f’(x) -3 1 Подумай! 1 2 0 + Подумай! 3 3 Подумай! 4 1 ПРОВЕРКА (4) -3 -

Задача 2. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-8; 4) В какой точке отрезка [-7; -3] функция принимает наибольшее значение. Подумай 1 y=f’(x) 1 Подумай 2 -2 + Подумай 3 - -5 Верно! 4 нет ПРОВЕРКА(3)

Задача 3. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-11; 11) Найдите количество точек экстремума функции y=f(x), принадлежащих отрезку [-10; 10]. 1 4 Подумай! 2 6 Подумай! y=f’(x) + 3 5 4 7 Верно! - min + max - Подумай! ПРОВЕРКА (2) min max + - min

Задача 4. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-2; 12) Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 1 2 Подумай! 2 4 Подумай! 3 6 4 8 6 Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3)

Задача 5. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-10; 2) Найдите количество точек , в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= - 2 x-11 или совпадает с ней. 1 Верно! 5 2 4 3 3 1 Подумай! f‘(x)=-2 4 2 Подумай! ПРОВЕРКА(2)

Задача 6. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-4; 8) Найдите точку экстремума функции y=f(x). Принадлежащей отрезку [-2; 6]. Верно! 1 4 1 Подумай! 1 2 0 + Подумай! 3 3 Подумай! 4 -1 ПРОВЕРКА (1) max

Задача 7. На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке x 0. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x 0. Подумай 1 -1 Подумай 2 1 Подумай 3 8 0, 5 Верно! 4 2 α 0, 25 ПРОВЕРКА (5)

Задача 8. На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке x 0. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x 0. 1 2 Подумай! α Верно! 2 -0, 5 β Подумай! 3 0, 5 Подумай! 4 -2 ПРОВЕРКА (3)

Задача 9. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат , касается графика функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке x 0 = 8. 1 0, 4 Подумай! 2 0, 8 Подумай! 3 1, 25 Верно! α 4 1 Подумай! ПРОВЕРКА (3)

Задача 10. На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x) , определенной на интервале Найдите абсциссу точки , в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y= 2 x-2 или совпадает с ней. Подумай 1 1 Подумай 2 0 Подумай 3 f’(x)=2 7 Верно! 4 5 5 ПРОВЕРКА (2)

Задача 11. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5; 5) Найдите количество точек, в которых производная функции y=f(x) равна 0. 1 5 Подумай! y=f(x) Верно! 2 4 Подумай! 3 3 Подумай! 4 2 ПРОВЕРКА (3)

Задача 12. Прямая y=5 x-8 является касательной к графику функции f(x)=28 x 2 +bx+15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Верно! 1 1 2 Подумай! Т. к. парабола и касательная имеют общую точку с координатами x 0 и y 0 , то составим уравнение: 1 3 Подумай! 4 Решим данное уравнение: Подумай! ПРОВЕРКА (7)

Задача 13. Материальная точка движется прямолинейно по закону где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах измеренное с начала движения. Найдите скорость в м/с в момент времени t=6 c. 1 10 Подумай! 2 12 Подумай! 3 18 4 36 Верно! Подумай! ПРОВЕРКА (3)

Задача 14. Материальная точка движется прямолинейно по закону где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах измеренное с начала движения. В какой момент вре мени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? Подумай 1 11 Подумай 2 Составим уравнение: 10 Подумай 3 7 Верно! 4 8 ПРОВЕРКА (5)

Ответы к заданиям № 1 --- 1 № 2 -- - 4 № 3 ---- 3 № 4 ---- 3 № 5 ---- 1 № 6 ---- 1 № 7 --- 4 № 8 --- 4 № 9 ---- 3 № 10 --- 4 № 11 ----2 № 12 --- 1 № 13 ----3 № 14 ----8 Дом. зад. на карточках.