Производная и ее применения . Определение

Скачать презентацию Производная и ее применения   . Определение Скачать презентацию Производная и ее применения . Определение

00020861-16293cb5.ppt

  • Размер: 1.7 Мб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 46

Описание презентации Производная и ее применения . Определение по слайдам

Производная и ее применения Производная и ее применения

. Определение  Производной функции y = f ( x ),  заданной на. Определение Производной функции y = f ( x ), заданной на некотором интервале ( a ; b ), в точке х , этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему , приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к. нулю Производную функции f ( x ) обозначают f ‘( x ) : « » . и говорят эф штрих от икс , Следовательно xf xf x lim)(

  Алгоритм нахождения ( производной для функции y = f ( x ) Алгоритм нахождения ( производной для функции y = f ( x ) ). Зафиксировать значение х , найти f ( x ). Дать аргументу х приращение ∆х , перейти в новую точку +∆х х , найти f ( x +∆ x ). : Найти приращение функции ∆ = у f ( x +∆ x )– f ( x ). . Составим отношения Вычислить Этот предел и есть f ‘( x ). x у x f x lim

Пример. Найти производную функции у=2 х+3 в точке х=3 2=(3) у 2 22 2)3()3(Пример. Найти производную функции у=2 х+3 в точке х=3 2=(3) у 2 22 2)3()3( 923)3(2)( 9332)3( lim xf x x xy xyxyy xxxxfу x

   Если прямолинейном движении путь s , ,   пройденной точкой Если прямолинейном движении путь s , , пройденной точкой есть функция от времени t , . . т е s = f ( t ), то скорость точки , . . есть производная от пути по времени т е v ( t )= f ‘( t ) , этот факт выражает . механический смысл производной

пример   , Тело движется по прямой так что расстояние S  (пример , Тело движется по прямой так что расстояние S ( ) в метрах от него до точки В этой прямой ( изменяется по закону t – время ). движения в секундах Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет 36 / равно м ? . Решение Из механического смысла – производной имеем скорость это производная . пути по времени Скорость изменяется по закону . – Так как ускорение это , производная скорости по времени то ускорение изменяется по закону , с другой стороны ускорение равно 36 / м . , Решим уравнение t =5 c. : 5 . Ответ через секунд 3122)(23 ttt. S 2 с ttt. Stv 246)()(2 2412)()(ttvta 362412 t

   Если в точке к графику функции y = f ( x Если в точке к графику функции y = f ( x ) , проведена касательная то число f ‘( ) есть тангенс угла альфа между этой касательной и положительным направлением оси ОХ , . . т е f ‘( )= tgα. Этот угол называю углом наклона. касательной Этот факт выражает . геометрический смысл производной 0 х 0 х 0 х

Пример  На рисунке изображен график функции y = f ( x ) Пример На рисунке изображен график функции y = f ( x ) . и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f ( x ) . в точке 0 х 0 х. 1 Рис

Решение. Значение производной f ( x )   в точке есть , значениеРешение. Значение производной f ( x ) в точке есть , значение тангенса угла образованного касательной к графику функции с положительным направлением оси ОХ. Из треугольника АВС : 1, 75. Ответ 0 х 75, 1 4 7 )( AB CB CABtgtga (. 1). рис

Вычисление производных  Формулами дифференцирования обычно   называют формулы для нахождения  .Вычисление производных Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения . производных конкретных функций

Формулы дифференцирования 22 22222 1 1 1 )( 1, 1 1 )(arccos 1, 1Формулы дифференцирования 22 22222 1 1 1 )( 1, 1 1 )(arccos 1, 1 1 arcsin 1 )( cos 1 )( sin)(cos cos)(sin 11 2 1 )( )( 1 0 xarcctgx xarctgx x xx xctgx xx xx xnxx. C nn aaa ee axx xx a ln)( )( ln 1 )(log 1 )(ln

Формулы дифференцирования uaaa uee u auu uu uu a   ln)( )( lnФормулы дифференцирования uaaa uee u auu uu uu a ln)( )( ln 1 )(log 1 )(ln

Правила дифференцирования  1. Теорема  Если функции y=f(x)  и y = gПравила дифференцирования 1. Теорема Если функции y=f(x) и y = g ( x ) имеют производную в точке x , то и их сумма имеет производную в точке x , причем производная суммы равна сумме : производных )())()((xgxf

Теорема 2 Если функция y = f ( x )  имеет производную вТеорема 2 Если функция y = f ( x ) имеет производную в точке , х то и функция y = kf ( x ) имеет производную в точке х , причем xfkxkf

Теорема 3 . Если функции y=f(x)  и y = g ( x )Теорема 3 . Если функции y=f(x) и y = g ( x ) имеют производную в точке x , то и их произведение имеет производную в точке x , причем )()()())()((xgxfxgxf

Теорема 4 Если функции y=f(x)  и y = g ( x ) Теорема 4 Если функции y=f(x) и y = g ( x ) имеют производную в точке x и в этой точке g ( x ) ≠ 0, то функция имеет производную в точке х , причем xg xf y )( 2 xg xgxf xg xf

    Теорема 5 Если функция f  имеет производную в точке Теорема 5 Если функция f имеет производную в точке а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет , производную в точке причем 0 х 00 xfy xfgxh 0 х 000 xfxfgxh g

Примеры.  Найти производные функций; 43 xxxf ; 2323 xxxf ; 23 xxxxf ;Примеры. Найти производные функций; 43 xxxf ; 2323 xxxf ; 23 xxxxf ; 85 422 x x xf ; 483 xxf. . 4343 321413 xxxxxf 1. 2. 3. 4. 5. Решения. 49223321213 xxxxxf 1322 2 1 22 13333 xxxxxxxxf. 16 2 2 23 xx x xx 2 22 85 542854 85 8542 x xxxxxf . 85 203210 85 20103220 2 22 x xxx. 48248483222 xxxxxf 1. 2. 3. 4. 5.

Применение производной при исследовании функции Пример 1.  Функция y = f ( xПрименение производной при исследовании функции Пример 1. Функция y = f ( x ) определена на промежутке (-5; 9). На рисунке 2 изображен график производной этой функции. Определите число касательных к графику функции y = f ( x ) , которые наклонены под углом 0 45 к положительному направлению оси абсцисс. . 2 Рис

Решение. . 3 Рис. Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y =Решение. . 3 Рис. Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y = f ( x ) в точке , и положительным направлением оси абсцисс, тогда . 0 xftg 0 х Так как , то для решения задачи достаточно определить количество точек пересечения графика функции и прямой у=1. Таких точек четыре. 145 0 tg xfy =1 У

Пример 2 2    На рисунке изображен график производной функции y =Пример 2 2 На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) найдите , абсциссу точки в которой касательная к графику y = f ( x ) параллельна прямой =1 у . или совпадает с ней . Решение Так касательная параллельна прямой =1 у , то ее угловой 0 коэффициент равен и тогда 0. (. 2) производная равна По графику рис , определяем что производная обращается в ноль при =-4; =-0, 5; =3; =7. х х. 2 Рис

. 4 Рис : -4; -0, 5; 3; 7. Ответ . 4 Рис : -4; -0, 5; 3; 7. Ответ

Пример 3.  5  На рисунке изображен график функции y = f (Пример 3. 5 На рисунке изображен график функции y = f ( x ) , . определенной на промежутке , Определите количество целых точек в которых производная функции f ( x ) . положительна. 5 Рис

Решение.  Производная функции  положительна в тех  , целых точках которые Решение. Производная функции положительна в тех , целых точках которые принадлежат — какому нибудь , промежутку возрастания , за исключением точек в которых производная ( равна нулю в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ ) или не. 2 существует По рисунку определяем абсциссы : -4; -3; 2; 3; 4. таких точек . Таких точек пять. 6 Рис

Пример 4.  5    На рисунке изображен график  функции yПример 4. 5 На рисунке изображен график функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). , Определите количество целых точек в . которых производная функции отрицательна. Решение Производная функции отрицательна , в тех целых точках которые принадлежат — какому нибудь промежутку убывания , , функции за исключением точек в которых ( производная равна нулю в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ ) . или не существует По рисунку : -1; 0; 6; 7; 8. определяем абсциссы таких точек . Таких точек пять. 5 Рис

. 7 Рис : 5 Ответ   . 7 Рис : 5 Ответ

Пример 5.  2     На рисунке изображен график производной функцииПример 5. 2 На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). Найдите промежутки возрастания функции y = f ( x ). В ответе . укажите длину наибольшего из них . Решение Промежуткам возрастания , функции соответствуют промежутки на которых производная данной функции. , положительна По графику определяем что наибольший из этих промежутков 4. имеет длину

. 8 Рис 4 . 8 Рис

Пример 6.  2     На рисунке изображен график производной функцииПример 6. 2 На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). Найдите промежутки убывания функции y = f ( x ). В ответе . укажите длину наибольшего из них . Решение Промежуткам убывания функции , соответствуют промежутки на которых производная данной функции. , отрицательна По графику определяем что наибольший из этих промежутков имеет 3, 5. длину. 2 Рис

. 9 Рис3, 5 . 9 Рис3,

Пример 7.    На рисунке изображен график производной функции y = fПример 7. На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). Найдите количество точек максимума функции y = f ( x ). . Решение , Точек максимума здесь две так 4 как график производной раза меняет знак на интервале (-5; 9) , из них два раза с . плюса на минус Это и есть точки. максимума. 2 Рис

Рис. 10 Рис.

Пример 8.     На рисунке изображен график производной функции y =Пример 8. На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). Найдите точки минимума функции y = f ( x ). . Решение , На графике производной видно что на интервале (-5; 9) 4 производная раза меняет знак в точках =-4; =-0, 5; =3; =7. х х Причем в точках =-4; =3 х х он меняется с . , минуса на плюс Значит эти точки являются , точками минимума так как в точках =-4 х и =3 х характер монотонности функции f ( x ) . меняется с убывания на возрастание. 2 Рис

Рис. 11 -4 3 Рис. 11 —

Пример 9.      На рисунке изображен график производной функции yПример 9. На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). Найдите количество точек экстремума функции y = f ( x ). . Решение (-5; 9) На промежутке точек экстремума функции y = f ( x ) : ровно четыре -4; -0, 5; 3; 7. . 2 Рис

Рис. 12 -3 -0, 5 3 7 Рис. 12 -3 -0,

Пример 10 13 На рисунке изображен график производной функции y = f ( xПример 10 13 На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 4). Укажите абсциссы , точек в которой касательная к графику функции y = f ( x ) имеет наименьший и . наибольший угловой коэффициент Рис.

Решение.    .  Угловой коэффициент касательной По  ,  Решение. . Угловой коэффициент касательной По , графику определяем что наименьшее значение . функция достигает при А наибольшее . значение функция достигает при 0. xfkкас xfy 1 0 x xfy 20 x Рис. 14 —

Пример 11.      На рисунке изображен график производной функции yПример 11. На рисунке изображен график производной функции y = f ( x ) , определенной на интервале (-5; 9). Найдите количество , точек в которых касательная к графику функции y = f ( x ) параллельна прямой =-4 +3 у х . или совпадает с ней Касательная к графику функции y = f ( x ) в некоторой точке параллельна прямой =-4 +3 у х , если значение производной функции в этой точке равно угловому коэффициенту , . (. 15) прямой то есть По графику рис , -4 видно что принимает значение в одной. точке. 2 Рис 4 xf

у=-4 Рис. 15 у=-4 Рис.

Пример 12.   К графику функции y = f ( x ) Пример 12. К графику функции y = f ( x ) проведена . касательная в точке с абсциссой 16 На рисунке изображен график . производной этой функции Определите градусную меру угла наклона. касательной 40 x Рис. 16 14 f 1 tg 0 135 0135 Решение. Пусть – угол наклона данной касательной к оси абсцисс. Так как , то . Отсюда получаем . Ответ: .

Пример 14.       На изображен график функции y =Пример 14. На изображен график функции y = f ( x ) , определенной на промежутке (-5; 9). , Найдите количество точек в которых касательная к графику функции параллельна прямой y =-7. . Решение Так касательные параллельны прямой =-7 у , то они параллельны оси ОХ , , следовательно производные функции f ( x ) в . точках касания должны ровняться нулю Это . стационарные точки На рисунке все они ( являются точками экстремума максимумами ). . или минимумами Их три. 5 Рис

Рис. 17       Ответ: 3. Рис. 17 Ответ: 3.

Рис. 2 Рис.

Рис. 1 Рис.

 Рис. 5 Рис.