Производная и дифференциал. Техника дифференцирования элементарных функций.

Производная и дифференциал.

Техника дифференцирования элементарных функций. 2 11 , 0 xx xx kbkxx constcc x x ax x xx xx a 1 ln ln 1 log sincos cossin x x 2 cos 1 tan x x 2 sin 1 cot

Правила дифференцирования. vuvu)( vuvuuv)( )()(xucxuc 2 v vuvu v u 2 1 u u u wuvwvuvwuuvw

1. Применение формул и правил дифференцирования. 1. Продифференцировать функцию : 3542 23 xxxy 3542 2323 xxxxxxy 1524320542 223 xxxxx 586 2 xx

2. Продифференцировать функцию: xxysin 32 xxxxxxysin 32 sin 32 xxxxxxxcos 32 sin 02 cos 32 sin 32 xxxcos 32 sin

3. Продифференцировать функцию: xxxylncos xxxxx lncoslncos x xxxxxxx x 1 coslnsinlncos 2 1 x xxcos lnsin 2 lncos xxx x x x xx lnsin 2 cosln 2 lnsin cos 2 lncos

4. Продифференцировать функцию: x x y cos 3 2 333 coscos cosx xxxx x x y x xxxx 2 2 2 32 cos sincos

5. Продифференцировать функцию: 7 tanx y xxxxx y 22 cos 7 1 cos 1 71 tan 71 7 tan

6. Продифференцировать функцию: 3 2 x xx y 6 7 3 1 2 1 3 22 22 xxxx x xx y 6 61 67 67 37 67 222 xxxxy

7. Продифференцировать функцию: 32 4 x y 3 232 444 x xxy 3 5 3 2 1 3 8 3 2 444 x xxxy 5235 3 8 xxx

2. Применение формул и правил дифференцирования. 8. Продифференцировать функцию: xarcxxy x cot 3 arctanarcsin

xarcxxy x cot 3 arctanarcsin 5 xarcxx x cot 3 arctanarcsin 5 2221 1 3 1 1 5 ln 5 xxx x 2221 3 1 1 5 ln 5 xxx x 221 4 1 1 5 ln 5 xx x

9. Продифференцировать функцию: xxyarccos xxxxxxyarccosarccos 22 1 arccos 1 x x xx

10. Продифференцировать функцию: x x e e xy 111 x x e e x y 1 11 22 1 11111 x xxxx e eeee x 2222 1 111 x xxxx e eeee x 2222 1 21 1 111 x xxx e e xe eee x

Производная от сложной функции. Функция, заданная в виде y=f(g(x)) , называется сложной функцией , составленной из функций g и f , или суперпозицией функций g и f. ( функция, аргументом которой служит функция, называется сложной ) элементарная функция сложная функция аргументxysin xxy 2 sin

элементарная функция сложная функция 3 14 xy 3 xy xy 2 1 xy xyln 32 lnxy

Теорема: Если функция f ( u ) дифференцируема по u , а функция u ( x ) дифференцируема по х , то производная сложной функции y = f ( u ( x )) по независимой переменной х определяется равенством илиxuufxy xuxuyy

Доказательство: Пусть дана функция y = f ( u ( x )). xuxuyy x y y xx 0 limxuxux uy x u u y ux uy 000 limlimlim xvuxvuyy

Примеры. Вычислить производные для функций: xuxuyy 33 14)1 xxy , 3 uy 14 3 xxu 43314 2233 xuxxuuyyxux 43143 223 xxx

xvuxvuyy 324 cosln)2 xy xxxy 4 cosln 3 2 32 xvvuuy 4, cos, ln 3 2 xvuvuyyxvux 4 cosln 3 2 xv v u 4 tan 3 8 cos sin 3 8 4 sin

324 cosln)2 xy xxxy 4 cosln 3 2 32 u u uxxy u ln 4 cosln 3 2 x xx uuu x x u 4 cos 4 sin 4 3 2 sincos 4 cos 3 2 x 4 tan

432)3 2 xxy u u uxxy 2 4322 34 4322 432 22 2 xx xx

? 3 , cossin)4 44 fxxy uuuxxxxy uu 344444 4 cossin xxxxcoscos 4 sinsin 4 33 xxxxsincos 4 cossin 433 3 2 32 sin 2 32 sin 2 3 f xxxxx 2 sin 2 cossin