Производная функции основное понятие дифференциального исчисления характеризующее скорость

Производная функции основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции Выполнил ученик 11 -А Виталий Si. Off. O Лыков

Производная Процесс вычисления производной Функцию, имеющую конечную определяется как называется дифференцированием. производную, называют предел отношения приращения дифференцируемой. функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x 0 называется предел, если он существует, Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x 0: Определение

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций» , то есть сложными функциями. Исходя их определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Правила дифференцирования

(известно как «правило Лейбница» ) — правило дифференцирования сложной функции Правила дифференцирования общих функций

когда и определены Производные простых функций

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

Производные тригонометрических функций

Производные гиперболических функций

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Дифференцирование сложной функции

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где y 0 = f(x 0), и Тогда их композиция также дифференцируема: Пусть также эти функции дифференцируемы: и её производная имеет вид: Замечание В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид: Одномерный случай

Пример Дифференциал функции z = g(y) в точке y 0 имеет вид: Пусть h(x) = (3 x 2 − 5 x)7. Тогда функция h может быть записана в виде композиции где dy — дифференциал тождественного отображения где Дифференцируя эти функции отдельно: Пусть теперь Тогда получаем , и согласно цепному правилу: Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет. Инвариантность формы первого дифференциала

Следствия Пусть даны функции где y 0 = f(x 0), и Якобиан композиции двух функций является произведений якобианов индивидуальных функций: Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f: Для частных производных сложной функции справедливо Многомерный случай

Пусть f(x) = x 2. Тогда Пусть f(x) = | x |. Тогда если Примеры то f'(x 0) = sgnx 0,