Производная функции одной переменной. Демонстрационный материал Пусть х

Производная функции одной переменной. Демонстрационный материал Пусть х - начальная точка, (х+∆х) - конечная точка на оси OX. Производной от функции y=f(x) по независимой переменной x в данной точке называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆х, когда ∆х произвольным образом стремится к нулю: (1) Действие отыскания производной от функции y=f(x) называется дифференцированием этой функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции выясняется в следующей теореме: Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой фиксированной точке x, то она в этой точке непрерывна.

Механический смысл производной Скорость есть производная от пути (от функции пути) по времени (по независимой переменной – времени): (2) Сравнивая (1) с (2), видим, что S’(t) есть скорость изменения функции y=f(x) (скорость возрастания или убывания) в зависимости от изменения независимой переменной x. Большему по абсолютному значению величины соответствует более быстрое изменение функции. Таким образом, механический смысл производной - скорость изменения функции y=f(x) в фиксированной точке x.

Геометрический смысл производной Из приводимого рисунка видно, что ММ 1 - хорда дуги линии графика функции y=f(x); МТ – касательная к графику функции в точке М. При этом, когда ∆x→ 0, то точка М 1 перемещается по дуге линии, стремясь в пределе занять положение точки М; хорда ММ 1 при этом поворачивается вокруг точки М , стремясь в пределе занять положение касательной МТ, угол β в пределе стремится к углу α и тогда. Таким образом, производная функции y=f(x) в точке x равна тангенсу угла между касательной МТ и осью OX

Правила дифференцирования 1. Пусть y, u, v – функции переменной x; C – константа. C’=0 - производная константы равна нулю. 2. 3. 4. 5. Если y=y(u) и u=u(x) , то 6. Если y(x) и x(y) - взаимно обратные функции, то

Формулы дифференцирования