
Лекция_2_Векторы.ppt
- Количество слайдов: 75
Произведение векторов 1. Скалярное произведение. 2. Векторное произведение. 3. Смешанное произведение.
1. Скалярное произведение 1. 1 Основные понятия. 1. 2 Свойства. 1. 3 Выражение через координаты. 1. 4. Некоторые приложения.
1. 1 Основные понятия.
1. 1 Основные понятия
Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
1. 2 Свойства скалярного произведения.
1. 2 Свойства 1. Переместительное свойство: = =
1. 2 Свойства 2. Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя:
1. 2 Свойства 3. Распределительное свойство:
1. 2 Свойства 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .
1. 2 Свойства Замечания: 1 . 2
1. 2 Свойства .
1. 2 Свойства 5. Справедливо и обратное утверждение: .
1. 2 Свойства Замечание: .
1. 3 Выражение скалярного произведения через координаты.
1. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение .
1. 3 Выражение через координаты . Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
1. 4. Некоторые приложения скалярного произведения.
1. 4. Некоторые приложения Угол между векторами:
1. 4. Некоторые приложения Проекции вектора
1. 4. Некоторые приложения Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:
2. Векторное произведение 2. 1 Основные понятия. 2. 2 Свойства. 2. 3 Выражение через координаты. 2. 4. Некоторые приложения.
2. 1 Основные понятия.
1. 1 Основные понятия
1. 1 Основные понятия Левая тройка Правая тройка
1. 1 Основные понятия
2. 2 Свойства векторного произведения.
Свойства: 1) При перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак: .
Следствие Ранее доказано: Свойство 1.
2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 λ·(a b) (λa) b a b b a λ·a
2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 2
2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 2 При аналогично.
Свойства: = 0 о = 180 о
Свойства: = 0 о = 180 о
Следствие:
Свойства: 4) Распределительное свойство:
2. 3 Выражение векторного произведения через координаты
2. 3 Выражение через координаты Векторное произведение Если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает – третий вектор берется со знаком «минус»
2. 3 Выражение через координаты
2. 3 Выражение через координаты
2. 3 Выражение через координаты
2. 3 Выражение через координаты
2. 4 Некоторые приложения векторного произведения
2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 1 Установление коллинеарности векторов Св-во определителя
2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 2 Нахождение площади параллелограмма и треугольника
2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 3 Определение момента силы относительно точки
2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 4 Нахождение линейной скорости вращения
3. Смешанное произведение 3. 1 Основные понятия. 3. 2 Свойства. 3. 3 Выражение через координаты. 3. 4. Некоторые приложения.
3. 1 Основные понятия.
3. 1 Основные понятия
3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Построим: 1) параллелепипед, ребрами которого являются векторы 2) вектор
3. 1 Основные понятия Геометрический смысл
3. 1 Основные понятия Геометрический смысл
3. 1 Основные понятия Геометрический смысл
3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+» , если они образуют правую тройку и со знаком « –» , если левую тройку.
3. 2 Свойства смешанного произведения.
Свойства: 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.
Свойства: 2) Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест двух векторов-сомножителей Перестановка сомножителей в векторном произведении, меняет у произведения знак.
Свойства: 3) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения:
Свойства:
Свойства: c b a !!!
Свойства: d P c b a
3. 3 Выражение смешанного произведения через координаты
3. 3 Выражение через координаты .
3. 3 Выражение через координаты .
3. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение.
3. 3 Выражение через координаты . Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
3. 4 Некоторые приложения смешанного произведения
2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 1 Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 2 Установление компланарности векторов
2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 3 Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды c b a