Скачать презентацию Произведение векторов 1 Скалярное произведение 2 Векторное произведение Скачать презентацию Произведение векторов 1 Скалярное произведение 2 Векторное произведение

Лекция_2_Векторы.ppt

  • Количество слайдов: 75

Произведение векторов 1. Скалярное произведение. 2. Векторное произведение. 3. Смешанное произведение. Произведение векторов 1. Скалярное произведение. 2. Векторное произведение. 3. Смешанное произведение.

1. Скалярное произведение 1. 1 Основные понятия. 1. 2 Свойства. 1. 3 Выражение через 1. Скалярное произведение 1. 1 Основные понятия. 1. 2 Свойства. 1. 3 Выражение через координаты. 1. 4. Некоторые приложения.

1. 1 Основные понятия. 1. 1 Основные понятия.

1. 1 Основные понятия 1. 1 Основные понятия

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

1. 2 Свойства скалярного произведения. 1. 2 Свойства скалярного произведения.

1. 2 Свойства 1. Переместительное свойство: = = 1. 2 Свойства 1. Переместительное свойство: = =

1. 2 Свойства 2. Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя: 1. 2 Свойства 2. Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя:

1. 2 Свойства 3. Распределительное свойство: 1. 2 Свойства 3. Распределительное свойство:

1. 2 Свойства 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: . 1. 2 Свойства 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

1. 2 Свойства Замечания: 1 . 2 1. 2 Свойства Замечания: 1 . 2

1. 2 Свойства . 1. 2 Свойства .

1. 2 Свойства 5. Справедливо и обратное утверждение: . 1. 2 Свойства 5. Справедливо и обратное утверждение: .

1. 2 Свойства Замечание: . 1. 2 Свойства Замечание: .

1. 3 Выражение скалярного произведения через координаты. 1. 3 Выражение скалярного произведения через координаты.

1. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение . 1. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение .

1. 3 Выражение через координаты . Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных 1. 3 Выражение через координаты . Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

1. 4. Некоторые приложения скалярного произведения. 1. 4. Некоторые приложения скалярного произведения.

1. 4. Некоторые приложения Угол между векторами: 1. 4. Некоторые приложения Угол между векторами:

1. 4. Некоторые приложения Проекции вектора 1. 4. Некоторые приложения Проекции вектора

1. 4. Некоторые приложения Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения, равна 1. 4. Некоторые приложения Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

2. Векторное произведение 2. 1 Основные понятия. 2. 2 Свойства. 2. 3 Выражение через 2. Векторное произведение 2. 1 Основные понятия. 2. 2 Свойства. 2. 3 Выражение через координаты. 2. 4. Некоторые приложения.

2. 1 Основные понятия. 2. 1 Основные понятия.

1. 1 Основные понятия 1. 1 Основные понятия

1. 1 Основные понятия Левая тройка Правая тройка 1. 1 Основные понятия Левая тройка Правая тройка

1. 1 Основные понятия 1. 1 Основные понятия

2. 2 Свойства векторного произведения. 2. 2 Свойства векторного произведения.

Свойства: 1) При перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак: . Свойства: 1) При перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак: .

Следствие Ранее доказано: Свойство 1. Следствие Ранее доказано: Свойство 1.

2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 λ·(a b) (λa) b 2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 λ·(a b) (λa) b a b b a λ·a

2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 2 2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 2

2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 2 При аналогично. 2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 2 При аналогично.

Свойства: = 0 о = 180 о Свойства: = 0 о = 180 о

Свойства: = 0 о = 180 о Свойства: = 0 о = 180 о

Следствие: Следствие:

Свойства: 4) Распределительное свойство: Свойства: 4) Распределительное свойство:

2. 3 Выражение векторного произведения через координаты 2. 3 Выражение векторного произведения через координаты

2. 3 Выражение через координаты Векторное произведение Если направление кратчайшего пути от первого вектора 2. 3 Выражение через координаты Векторное произведение Если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает – третий вектор берется со знаком «минус»

2. 3 Выражение через координаты 2. 3 Выражение через координаты

2. 3 Выражение через координаты 2. 3 Выражение через координаты

2. 3 Выражение через координаты 2. 3 Выражение через координаты

2. 3 Выражение через координаты 2. 3 Выражение через координаты

2. 4 Некоторые приложения векторного произведения 2. 4 Некоторые приложения векторного произведения

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 1 Установление коллинеарности векторов Св-во определителя 2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 1 Установление коллинеарности векторов Св-во определителя

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 2 Нахождение площади параллелограмма и треугольника 2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 2 Нахождение площади параллелограмма и треугольника

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 3 Определение момента силы относительно точки 2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 3 Определение момента силы относительно точки

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 4 Нахождение линейной скорости вращения 2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 4 Нахождение линейной скорости вращения

3. Смешанное произведение 3. 1 Основные понятия. 3. 2 Свойства. 3. 3 Выражение через 3. Смешанное произведение 3. 1 Основные понятия. 3. 2 Свойства. 3. 3 Выражение через координаты. 3. 4. Некоторые приложения.

3. 1 Основные понятия. 3. 1 Основные понятия.

3. 1 Основные понятия 3. 1 Основные понятия

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Построим: 1) параллелепипед, ребрами которого являются векторы 2) 3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Построим: 1) параллелепипед, ребрами которого являются векторы 2) вектор

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл 3. 1 Основные понятия Геометрический смысл

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл 3. 1 Основные понятия Геометрический смысл

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл 3. 1 Основные понятия Геометрический смысл

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного 3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+» , если они образуют правую тройку и со знаком « –» , если левую тройку.

3. 2 Свойства смешанного произведения. 3. 2 Свойства смешанного произведения.

Свойства: 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. в Свойства: 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

Свойства: 2) Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест двух векторов-сомножителей Перестановка сомножителей Свойства: 2) Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест двух векторов-сомножителей Перестановка сомножителей в векторном произведении, меняет у произведения знак.

Свойства: 3) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения: Свойства: 3) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения:

Свойства: Свойства:

Свойства: c b a !!! Свойства: c b a !!!

Свойства: d P c b a Свойства: d P c b a

3. 3 Выражение смешанного произведения через координаты 3. 3 Выражение смешанного произведения через координаты

3. 3 Выражение через координаты . 3. 3 Выражение через координаты .

3. 3 Выражение через координаты . 3. 3 Выражение через координаты .

3. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение. 3. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение.

3. 3 Выражение через координаты . Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному 3. 3 Выражение через координаты . Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

3. 4 Некоторые приложения смешанного произведения 3. 4 Некоторые приложения смешанного произведения

2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 1 Определение взаимной ориентации векторов в пространстве 2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 1 Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 2 Установление компланарности векторов 2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 2 Установление компланарности векторов

2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 3 Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды c 2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 3 Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды c b a