Прогнозирование временных рядов по трендовым моделям 1 Основные

Прогнозирование временных рядов по трендовым моделям. 1. Основные типы экономического роста и соответствующие им трендовые модели 2. Оценивание параметров функции линейного тренда 3. Оценка параметров наиболее употребляемых трендов 4. Построение интервального прогноза на нелинейных трендовых моделях

Основные типы экономического роста и соответствующие им трендовые модели I – постоянный рост (с постоянным или близким к нему абсолютным цепным приростом); II – увеличивающийся рост (с увеличивающимся абсолютным цепным приростом); III – уменьшающийся рост (с уменьшающимся абсолютным цепным приростом); IV – рост с качественными изменениями динамических характеристик на протяжении исследуемого периода.

I тип роста Линейная функция: f(t)= 0+ 1 t. n Линейно-гиперболическая функция: f(t)= + t+ /t, где >0; >0. n Линейно-логарифмическая функция 2 -го порядка: f(t)= 0+ 1 ln(t)+ 2 ln 2(t), где 1>0; 2>0. n

II тип роста Показательная функция: f(t)= (1+ )t, где >0; >0. n Парабола 2 -го порядка: f(t)= 0+ 1 t+ 2 t 2, где 1>0; 2>0. n Парабола 3 -го порядка: f(t)= 0+ 1 t+ 2 t 2+ 3 t 3, где 1>0; 2>0; 3>0. n Обобщенная функция: f(t)= n где ( ) - линейная, параболическая или другая функция, >0.

III тип роста n n n Степенная функция: f(t)= t , где >0; 0< <1. Линейно-логарифмическая функция: f(t)= 0+ 1 ln(t), где 1>0. Парабола 2 -го порядка: f(t)= 0+ 1 t+ 2 t 2, где 1>0; 2>0. Гипербола 1 -го порядка: f(t)= 0+ 1/t, где 1<0. Гипербола 2 -го порядка: f(t)= 0+ 1/t + 2/t 2 , где 1<0; 2<0. Модифицированная экспонента: f(t)= + e-t, где <0.

IV тип роста n n n Линейно-логарифмическая функция 2 -го порядка: f(t)= 0+ 1 ln(t)+ 2 ln 2(t), где 1>0; 2>0. Парабола 3 -го порядка: f(t)= 0+ 1 t+ 2 t 2+ 3 t 3, где 1>0; 2>0; 3>0. Логистическая функция: f(t)= где >0; >0.

IV тип роста n Первая функция Торнквиста: f(t)= n , где >0; >0. Кривая Гомперца: где >0; >0.

2. Оценивание параметров функции линейного тренда Применяемые методы: n метод наименьших квадратов; n метод минимизации суммы модулей отклонений (для линейных и линеаризуемых моделей); n градиентный метод; n метод Гаусса-Ньютона; n метод Марквардта (для нелинейных моделей)

Оценка параметров линейного тренда по МНК

Доверительный интервал прогноза по линейному тренду

3. Оценка параметров наиболее употребляемых трендов добиваются линеаризации путем введения дополнительных переменных иногда с применением к исходной трендовой модели специальных преобразований типа логарифмирования, разложения функции в ряд и т. п.

Полином m-го порядка

Гиперболическая функция m -го порядка:

Линейно-логарифмическая функция m-го порядка:

Линейно-гиперболическая функция:

Модифицированная экспонента:

Метод трех сумм для функций вида: Алгоритм: n Весь ряд разбивается на три равных отрезка. n Вычисляем сумму элементов ряда для каждого отрезка. n Рассчитываем параметры. n Уточняем параметры.

Метод трех сумм: расчет параметров

Расчет параметров для логистической кривой:

Уточнение параметров (метод Стонера) Если левая часть меньше правой, то оценка b увеличивается, а если левая часть больше правой, то оценка b уменьшается

Первая функция Торнквиста:

Степенная функция

Показательная функция

Обобщенная экспонента

Кривая Гомперца

Логистическая кривая