Проект по геометрии Пирамида Египетские пирамиды

Проект по геометрии «Пирамида»

Египетские пирамиды – одно из семи чудес света. … Как загадочны эти фигуры! Сколько тайн хранят они в себе! С самого детства я задумывалась об этом. Они манили меня к себе своей таинственностью. Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучать стереометрические фигуры и, конечно, затронули тему «Пирамида» . Мне стало очень интересно, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее, ведь тема «Пирамиды» затрагивает глубокие аспекты современных научных дисциплин и является одной из наиболее актуальных для пытливых умов современных ученых. Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука. Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды?

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки , не лежащей в плоскости основания, –вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми ребрами. Пирамида может быть получена при пересечении многогранного угла произвольной плоскостью. Ее вершиной будет служить вершина многогранного угла, основанием – сечение многогранного угла данной плоскостью, боковыми ребрами – отсеченные части ребер многогранного угла. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Боковые ребра Основание Боковые грани Высота Вершина

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какуюнибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью. ∆SEF – сечение пирамиды SABCD ∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD

Пирамида называется правильной, если ее основание- правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершины пирамиды с центром основания, является ее высотой. Следовательно, все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота каждая из этих треугольников называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны. Боковые ребра и боковые грани правильной пирамиды имеют один и тот же угол наклона к плоскости основания.

Если две правильные четырехугольные пирамиды, у которых боковое ребро равно стороне основания, приложить друг к другу так, чтобы их основания совпали, то получится правильный многогранник – октаэдр. Форму октаэдра имеет кристалл алмаза. Четыре атома водорода , входящие в молекулы метана, расположены в вершинах правильной пирамиды (тетраэдра). Атом углерода находится внутри этой пирамиды на равном расстоянии от ее вершин.

Теорема: Площадью боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Дано : правильная пирамида. Доказать, что S боковой поверхности равна 12 P основания на апофему. Решение. Боковые грани правильной пирамиды-равные равнобедренные треугольники , основания которых-стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы а. Вынося множитель 12 а за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды , т. е. его периметр. Ч. т. д.

Теорема: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. (рис. 9 б) Где P-периметр основания пирамиды, а h-апофема Sбок = 0. 5 Рh Теорема: Площадь полной поверхности пирамиды (рис. 9 а) вычисляется по формуле: Sполн = Sбок + Sосн

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. V = 1/3∙SH Где S-площадь основания пирамиды H - высота пирамиды

Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным. Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l – апофема, P и P 1 – периметры оснований. Доказать: Sбок = ½(p+p 1) ∙l Решение. В правильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a 1, ее высота k, тогда Sгр. = ½(a + a 1)∙l, таких граней n, следовательно, Sбок = n ½ (a + a 1) l = ½ (na + na 1)∙l, т. е. Sбок = ½ (P+P 1)∙l. Ч. т. д.

Где S 1, S 2 – площади оснований (S 1>S 2) H - высота усеченной пирамиды

1. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой ≈ 150 м и боковым ребром ≈ 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды. 2. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4, 5 м × 4, 5 м и углом наклона грани к основанию в 45˚. Сколько листов железа размером 70 см × 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

2. Дано: SABCD – Правильная четырехугольная пирамида. AB = BC = 4, 5 м SCO = 45˚; размеры листа: 70 см × 140 см; отходы: 10% Найти: N Решение: N = (Sбок + S отх )/ S листа Sбок = 4∙S∆CSD =4 ½ CD∙SK = 2 CD∙SK Рассмотрим. ∆SOC (O = 90˚; С = 45˚) т. к. сумма углов в треугольнике равна 180˚, то S = 180˚ – 90˚ – 45˚ = 45˚ → SO = OC т. к. ABCD – правильный четырехугольник, то OK = CD/2 = 4, 5/2 = 2, 25 (м) Рассмотрим. ∆OKC (K = 90˚; OK = CK) По теореме Пифагора: OC = √ 2 OK 2 = √ 2∙ 5, 0625 ≈ 3, 2 (м) → SO = 3, 2 (м) Рассмотрим. ∆SOK (O = 90˚) По теореме Пифагора: SK = √SO 2 + OK 2 = √ 10, 24 + 5, 0625 = √ 15, 3 ≈ 3, 9 (м) Sбок = 2∙ 4, 5∙ 3, 9 = 35, 1 (м 2) S отх = Sбок∙ 0, 1 = 35, 1∙ 0, 1 = 3, 51 (м 2) S листа = 0, 7∙ 1, 4 = 0, 98 (м 2) N = (35, 1 + 3, 51)/0, 98 = 40 Ответ: 40 листов 1. Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида; SO – высота; SO = 150 м; SA – боковое ребро; SA = 220 м; Найти: VSABCD; Sбок Решение: V = 1/3 SABCDSO; Sбок = p∙SK/2 Рассмотрим. ∆SOC (O = 90˚) По теореме Пифагора: OC = √SC 2 – SO 2 = √ 2202 – 1502 = √ 48400 – 22500 = √ 25900 (м) ≈ 161 м т. к. ABCD – правильный прямоугольник, то: AB = OC√ 2 = √ 25900*2 = √ 51800 (м) ≈ 228 (м) Рассмотрим. ∆ SCD (SC = CD = SD) CK= ½ CD; CK = 228/2 = 114 (м) Рассмотрим. ∆SKC (K = 90˚) По теореме Пифагора: SK = √SC 2 – CK 2; SK = √ 2202 – 1142 = √ 48400 – 12996 = √ 35404 ≈ 188 (м) Периметр основания: p = 4∙ 228 = 912 (м) Находим Sбок = 4∙ 228∙ 114/2 = 51984 (м 2) Sосн = AB 2; Sосн = 2282 = 51984 (м 2) Находим V= 1/3 SABCDSO = 1/3∙ 51984∙ 150 = 2599200 (м 3) Ответ: 51984 м 2; 2599200 м 3.

• 1. Лаппо Л. Д. Геометрия: Устный экзамен. Теория и практика. Издательство «ЭКЗАМЕН» , 2008. • 2. Барыбин Н. А. Геометрия: Учебник для 10 – 11, М. : Просвещение, 1986. • 3. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 711, 5 -е изд. М: Просвещение, 1996. • 4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. М. : Просвещение, 1985. • 5. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. XI класс. М. : Просвещение, 1991. • 6. Атанасян Л. С. Геометрия: Учебник для 1011, 16 -е изд. М: Просвещение, 1992.

№ 1 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов-9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию. 13, 5 см² 27 см² 108 см² № 2 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, а апофема -15 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 3 √ 34 см 12 см 9 √ 34 № 3 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. ˚ 60 30 ˚ 15 ˚

№ 4 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 3 √ 21 см² 3 3 √ 29 см № 5 Найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию , если стороны основа В правильной четырехугольной пирамиде стороны основания равна а 3 а ² √ 3 3 а 4 а √½ № 6 Найдите боковую поверхность пирамиды , если площадь основания равна S, а двугранные углы при основании равны а. Sсм Scosα см

№ 7 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота – 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды 360 см² 230 см ² 140 см ² № 8 Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с √ основаниями 6 см и 4 6 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту. 12 см ≈13 см 5, 2 см № 9 Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру. 13 дм ² 13 дм 26 дм ²

Ты усвоил эту тему! Пройти следующий тест. (1, 2, 3) Пройти следующий тест. (4, 5, 6)

Ты был не внимателен !Попробуй еще! Попробовать еще раз.

Ты усвоил эту тему! Пройти следующий тест(4, 5, 6) Пройти следующий тест(7, 8, 9)

Ты был не внимателен !Попробуй еще! Попробовать еще раз!

Ты усвоил эту тему! Пройти следующий тест(7, 8, 9) Пройти тест сначала!

Ты был не внимателен !Попробуй еще! Попробовать еще раз