ПРОЕКТ НА ТЕМУ МИР ТРЕУГОЛЬНИКОВ Выполнили ученики

ПРОЕКТ НА ТЕМУ: «МИР ТРЕУГОЛЬНИКОВ» Выполнили ученики : 8 класса Руководитель проекта: Антипова Е. И.

ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК За 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

ТРЕУГОЛЬНИК В ГЕОМЕТРИИ. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК В ТРИГОНОМЕТРИИ. "Тригонон" - треугольник и "метрезис" – измерение. Для прямоугольного треугольника: sin(A) = a/b cos(A) = c/b tg(A) = a/c ctg(A) = c/a

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Остроугольный Разносторонний Тупоугольный Равнобедренный Прямоугольный Равносторонний

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Площадь треугольника. Формула Герона. R –радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр.

Периметр треугольника: Р = a+b+c Теорема о сумме углов треугольника: α + β + γ = 180° (π) Теорема синусов a b c -------- = 2 R sin α sin β sin γ Теорема косинусов: c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab cos γ Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: c 2= b 2+ a 2

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Ортоцентр – центр пересечения высот Барицентр – точка пересечения медиан

Центр вписанной окружности точка пересечения биссектрис Центр описанной окружноститочка пересечения серединных перпендикуляров

Прямая Эйлера Окружность девяти точек

ПИФАГОРОВ ТРЕУГОЛЬНИК. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, называется пифагоровым и является прямоугольным. Пифагорова тройка — комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2+ y 2 = z 2, где x =a 2 -b 2; y=2 ab; z =a 2 + b 2 (1) ( a и b принадлежат натуральному ряду, a > b > 0)

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ. , например

ТРЕУГОЛЬНИК СЕРПИНСКОГО. Фракталы - это множества дробной размерности. Их можно представить как самоподобные геометрические фигуры, малые части которых после увеличения выглядят также или почти так же, как вся фигура.

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ТРЕУГОЛЬНИКА В ДРЕВНОСТИ. Греческий мудрец Фалес из Милета за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался тенью. Как говорит придание, Фалес избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту, в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отображенной его тени.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДО НЕДОСТУПНОЙ ТОЧКИ. Cторона ВС – общая для АВС и ВСD. Отложим угол CBD=СВА, и угол ВСD=ВСА. Налицо второй признак равенства треугольников, следовательно, АВС = ВСD. Таким образом, пользуясь равенством сторон АВ и ВD или сторон АС и СD, можем найти расстояние до интересующей нас точки.

ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА В СОСТАВЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Диагональ квадрата d=a √ 2 Высота треугольника h=(a/2) √ 3 Диагональ куба d=a√ 3 Высота боковых граней пирамиды h 12=h 2+a 2/4

ВЫВОД В результате проделанной работы мы пришли к выводу, что треугольник принимает активное участие в следующих сферах: • Геометрия и тригонометрия; • Естественные науки- астрономия, физика, география и др. ; • Строительство и архитектура; • Программирование и т. д. Итак, в своем проекте мы изучили существование треугольника с древнейших времен до наших дней и установили, что он является неотъемлемой частью нашей жизни.