ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ УГЛОВ Угол — геометрическая фигура

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ УГЛОВ

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух смежных углов, лучи которых параллельны этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость. Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов: 1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (Теорема о проецировании прямого угла).

Дано: Ð АВС = 90 о; [ВС] // П 1; [АС] # П 1. Для доказательства теоремы продлим отрезок АС до пересечения с плоскостью П 1 (рис. 39) получим горизонтальный след прямой - точку М º М 1, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из условия следует, что [ВС] // [В 1 С 1]. Если через точку М проведем прямую МD параллельную. С 1 В 1 , то она будет параллельна и СВ, а следовательно Ð СМD= 90 о. Согласно теореме о трех перпендикулярах Ð С 1 МD=90 о. Таким образом, [MD]^[А 1 С 1] и [MD]//[В 1 С 1], следовательно, Ð А 1 С 1 В 1= 90 о, что и требовалось доказать. В случае, когда [АС]^П 1 проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.

2. Если проекция угла представляет угол 900, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 40). 3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу. 4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве. 5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.

ПЛОСКОСТЬ • Плоскость* – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости: • 1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки; • 2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек. • Плоскость в линейной алгебре - поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1 -ой степени. Общее уравнение плоскости: • Ax+By+Cz+D=0, • где А, В, С, и D - постоянные, причем А, В и С одновременно

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено: 1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис. 41); 2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 42); 3. двумя пересекающимися прямыми (рис. 43);

4. двумя параллельными прямыми (рис. 44); 5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис. 45). Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a. П 1, фронтальный a. П 2 и профильный a. П 3 следы.

ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения. 1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: горизонтальный a. П 1; - фронтальный a. П 2; профильный a. П 3). 2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2. 1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a. LП 1), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис. 46).

2. 2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a. LП 2)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом a. П 2 (рис. 47). 2. 3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( a. LП 3) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис. 48).

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают: 3. 1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (a//П 1) - (a. LП 2, a. LП 3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П 1 без искажения, а на плоскости П 2 и П 3 в прямые - следы плоскости a. П 2 и a. П 3 (рис. 49).

3. 2. Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (a//П 2), (a. LП 1, a. LП 3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П 2 без искажения, а на плоскости П 1 и П 3 в прямые - следы плоскости a. П 1 и a. П 3 (рис. 50). 3. 3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (a//П 3), (a. LП 1, a. LП 2). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П 3 без искажения, а на плоскости П 1 и П 2 в прямые - следы плоскости a. П 1 и a. П 2 (рис. 51).

СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. В зависимости, от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости. Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой (как для построения любой прямой). На рисунке 52 показано нахождение следов плоскости α(АВС). Фронтальный след плоскости αП 2 построен, как прямая соединяющая две точки N(АС) и N(АВ), являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости α. Горизонтальный след αП 1 – прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след αП 3 – прямая соединяющая точки (αy и αz) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями. Точки αx, αy и αz называют точками схода следов.