Проецирование пространственных сцен Содержание Основные типы проекций

Проецирование пространственных сцен

Содержание Основные типы проекций Плоские геометрические проекции Параллельные проекции Центральные проекции

Проецирование пространственных сцен Основные типы проекций В математическом смысле проекции - это преобразования точек пространства размерности n в точки пространства размерности n-k (подпространство исходного пространства). В компьютерной графике рассматриваются преимущественно проекции трехмерного пространства образа на двумерную плоскость. Проекция трехмерного объекта, представленного в виде совокупности точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

Проецирование пространственных сцен Основные типы проекций Такой класс проекций называют плоскими геометрическими проекциями, поскольку проецирование в этом случае производится на проекционную плоскость и в качестве проекторов используются прямые. Существуют и другие проекции, в которых проецирование осуществляется на криволинейные поверхности или же проецирование осуществляется не с помощью прямых (такие проекции используются, например, в картографии).

Проецирование пространственных сцен Плоские геометрические проекции подразделяются на два основных класса: центральные (перспективные) и параллельные. Различие между ними определяется расстоянием между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной. Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, в то время как, определяя параллельную проекцию, мы указываем направление проецирования

Проецирование пространственных сцен Плоские геометрические проекции Параллельная проекция (проекция параллельным пучком лучей) Центральная проекция (перспективная проекция)

Проецирование пространственных сцен Плоские геометрические проекции Центральная проекция порождает визуальный эффект, называемый перспективным укорачиванием: по мере увеличения расстояния от центра до объекта размер получаемой проекции уменьшается. Данный эффект присутствует в фотографических системах и зрительной системе человека. Поэтому центральная проекция используется в случаях, когда желательно достичь определенной степени реалистичности.

Проецирование пространственных сцен Плоские геометрические проекции С другой стороны, хотя центральная проекция объектов является реалистичной, она оказывается непригодной для представления точной формы и размеров объектов: • из проекции нельзя получить информацию об относительных расстояниях; • углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости; • проекции параллельных линий в общем случае не параллельны.

Проецирование пространственных сцен Плоские геометрические проекции Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, поскольку отсутствует перспективное укорачивание, хотя при этом могут иметь место различные постоянные укорачивания вдоль каждой из осей. Проекция фиксирует: • истинные размеры (с точностью до скалярного множителя) • параллельные прямые остаются параллельными. Как и в случае центральной проекции, углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости.

Проецирование пространственных сцен Плоские геометрические проекции

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции разделяются на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости. Если эти направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости, то проекция называется ортографической. Если же проекторы не ортогональны к проекционной плоскости, то проекция называется косоугольной. Ортографическая проекция является самой простой из параллельных проекций, используемая обычно в инженерных чертежах. В этом случае точно изображается правильные или «истинные» размер и форма одной плоской грани объекта.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции В инженерной графике наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются вид спереди, вид сверху и вид сбоку, в которых проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим вследствие этого с направлением проецирования.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Поскольку каждая проекция отображает лишь одну сторону объекта, часто совсем непросто представить себе пространственную структуру проецируемого объекта, даже если рассматривать сразу несколько проекций одного и того же объекта. Но такие чертежи позволяют определять реальные размеры объекта.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Матрицы проекции на плоскости x, y и z имеет следующий вид: Для объектов с гранями, не параллельными одной из координатных плоскостей, стандартные ортографические виды не показывают правильную или истинную форму этих граней. Для этих целей используются вспомогательные виды. Вспомогательный вид образуется с помощью вращения и перемещения объекта так, чтобы нормаль к грани совпала с одной из координатных осей. Результат затем проецируется на координатную плоскость, перпендикулярную этой оси.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции В случае аксонометрических ортографических проекций используются проекционные плоскости, не перпендикулярные главным координатным осям. На них изображается сразу несколько сторон объекта, так же как и при центральном проецировании, однако в аксонометрии укорачивание постоянно, тогда как в случае центральной проекции оно связано с расстоянием от центра проекции. При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются. Расстояния же можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Одна ортографическая проекция не может дать представления об общей трехмерной форме объекта. Это ограничение можно преодолеть с помощью аксонометрических проекций. Аксонометрическая проекция образуется манипулированием объекта с помощью поворотов и перемещений таким образом, что бы были видны по крайней мере три соседние грани. Результат затем проецируется с центром проекции, расположенным в бесконечности, на одну из координатных плоскостей, обычно на плоскость. Если грань не параллельна плоскости проекции, то аксонометрическая проекция не показывает истинную форму этой грани. Однако остаются постоянными относительные длины параллельных в исходном пространстве линий, т. е. параллельные линии одинаково укорачиваются (искажаются). Коэффициент искажения есть отношение длины проекции отрезка к его истинной длине.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Аксонометрические проекции подразделяются на три группы в соответствии с расположением проекционной плоскости по отношению к осям координат: • нормаль к проекционной плоскости образует три различных угла с осями, то проекция называется триметрической (триметрией); • два из этих углов одинаковы, получаем диметрическую проекцию (диметрию) • три угла равны между собой – изометрическая проекция (изометрией). В триметрической проекции меньше всего ограничений, а в изометрической - больше всего. В самом деле, как будет показано ниже, изометрическая проекция есть частный случай диметрической, а диметрическая проекция есть частный случай триметрической.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Триметрическая проекция строится произвольными поворотами вокруг любых координатных осей, совершаемыми в произвольном порядке, с последующим проецированием на плоскость. Здесь термин главная ось используется в том смысле, что ось (или ребро) объекта в исходном пространстве параллельна одной из координатных осей x, y или z. В общем случае для триметрической проекции коэффициенты искажения по каждой из проецируемых главных осей (x, y и z) не равны другу. Наложение ограничений на коэффициенты уменьшает диапазон триметрических проекций.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Для любой конкретной триметрической проекции коэффициенты искажения вычисляют с помощью применения общей матрицы преобразования к единичным векторам вдоль главных осей где [U] есть матрица единичных векторов вдоль нетрансформированных осей x, y и z, а [Т] общая матрица триметрической проекции. Тогда коэффициенты искажения вдоль спроецированных главных осей равны:

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Триметрическая проекция (триметрия)

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Диметрическая проекция - это триметрическая проекция с двумя одинаковыми коэффициентами искажения, третий коэффициент может иметь любое значение. Диметрическая проекция строится с помощью поворота на угол вокруг оси y, затем поворота на угол вокруг оси x и проецирования на плоскость z = 0 с центром проекции, расположенным в бесконечности. Диметрическая проекция позволяет проводить измерения с одинаковым масштабным множителем по двум преобразованным главным осям. Измерение вдоль третьей оси требует другого масштабного множителя. Это может привести к путанице и ошибкам, если требуется точное масштабирование размеров спроецированного объекта. Изометрическая проекция решает эту проблему.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Диметрическая проекция (диметрия)

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Изометрическая проекция обладает тем свойством, что все три главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом (название: "изо", что означает "равно", и "метрия" - "измерение"). Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом. Существуют четыре возможных изометрических проекции. Изометрическая проекция есть частный случай диметрической с fz = 0. 8165. Для построения изометрических проекций вручную обычно используется пластмассовый прямоугольный треугольник с углами 30 и 60 градусов.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Изометрическая проекция (изометрия)

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Косоугольные проекции также являются параллельными, причем проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси. Косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции. Сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерять углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Наиболее часто используемые косоугольные проекции: • кавалье (cavalier, горизонтальная косоугольная изометрия); • кабинет (cabinet, кабинетная проекция).

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции кавалье (горизонтальная косоугольная изометрия) кабинет (кабинетная проекция)

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции В проекции горизонтальной косоугольной изометрии направление проецирования составляет с плоскостью угол 45°. В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует. Преобразование для косоугольной проекции имеет вид: При f = 0, получаем ортографическую проекцию. Если f = 1, то не подвергаются искажению ребра, перпендикулярные плоскости проекции. А это является условием проекции кавалье.

Проецирование пространственных сцен Параллельные проекции Кабинетная проекция имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол (коэффициенте искажения f = 1/2). При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины, что более соответствует нашему визуальному опыту, поэтому изображение выглядит более реалистично. Поскольку изображается истинная форма одной грани, косоугольные проекции особенно подходят для иллюстрации объектов с круглыми или иными искривленными гранями. Такие грани должны быть параллельны плоскости проекции, чтобы избежать нежелательных искажений. Так же, как и в случае параллельных проекций, объекты с одним измерением, существенно превосходящим другие, подвергаются значительному искажению, если только это измерение не параллельно плоскости проекции.

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции Когда пучок проекторов исходит из заданного центра проекции, то параллельные отрезки на плоскости проекции уже не будут параллельными, за исключением случая, когда они лежат в плоскости, параллельной проекционной. При проецировании нескольких параллельных прямых их проекции пересекаются в так называемой точке схода. Если совокупность прямых параллельна одной из координатных осей, то их точка схода называется главной. Таких точек может быть не больше трех. Например, если проекционная плоскость перпендикулярна оси OZ, то лишь на этой оси будет лежать главная точка схода, поскольку прямые, параллельные как оси OX, так и OY, параллельны также и проекционной плоскости и поэтому не имеют точки схода.

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно, и от числа координатных осей, которые пересекает проекционная плоскость. На рисунке изображены три различные проекции куба, причем две из них имеют одну точку схода, а третья - две точки.

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции Двухточечная центральная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании и в рекламных изображениях, в которых вертикальные прямые проецируются как параллельные и, следовательно, не сходятся. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются. Во-первых, потому, что их трудно конструировать. Во-вторых, они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции С математической точки зрения, перспективное преобразование имеет место, когда не равен нулю любой из первых трех элементов четвертого столбца обобщенной (4 х4)-матрицы преобразования однородных координат. Как было упомянуто ранее, перспективное преобразование - это преобразование одного трехмерного пространства в другое. В отличие от параллельных преобразований, в данном случае параллельные прямые сходятся, размер объекта уменьшается с увеличением расстояния до центра проекции, и происходит неоднородное искажение линий объекта, зависящее от ориентации и расстояния от объекта до центра проекции. Все это помогает нашему восприятию глубины, но не сохраняет форму объекта.

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции Одноточечное перспективное преобразование задается равенством Здесь Обычные координаты получаются делением на h

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции Перспективное проецирование на некоторую двумерную видовую плоскость можно получить, объединив ортографическую проекцию с перспективным преобразованием. Например, перспективное проецирование на плоскость z=0 выполняется с помощью преобразований

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции Обычные координаты равны:

Проецирование пространственных сцен Центральные проекции Трехточечная перспектива получается, если не равны нулю три первых элемента четвертого столбца (4 х4)-матрицы преобразования. Трехточечное перспективное преобразование задается равентсвом Обычные координаты: Трехточечное перспективное преобразование может быть получено конкатенацией трех одноточечных перспективных преобразований, по одному на каждую координатную ось.

Проецирование пространственных сцен Классификация проекций Плоские геометрические проекции Параллельные проекции Ортографическая проекция Аксонометрические проекции Триметрическая проекция Диметрическая проекция Изометрическая проекция Косоугольная проекция Горизонтальная косоугольная изометрия (кавалье) Кабинетная проекция (кабинет ) Центральные проекции Одноточечная проекция Двухточечная проекция Трехточечная проекция