Процессы переноса Курс общей физики Лекция № 12 Prof. N. A. Timchenko Tomsk polytechnic university
1. Явления переноса в газах 2. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газах 3. Диффузия газов 4. Внутреннее трение. Вязкость газов 5. Теплопроводность газов 6. Коэффициенты переноса и их зависимость от давления 7. Понятие о вакууме
1. Явления переноса в газах Молекулы в газе движутся со скоростью звука, т. е . Однако, находясь в противоположном конце комнаты, запах разлитой пахучей жидкости мы почувствуем через сравнительно большой промежуток времени. Это происходит потому, что молекулы движутся хаотически, сталкиваются друг с другом, траектория движения у них ломанная.
Рассмотрим некоторые явления, происходящие в газах. В состоянии равновесия температура Т и концентрация n во всех точках системы одинакова. При отклонении плотности от равновесного значения в некоторой части системы возникает движение компонент вещества в направлениях, приводящих к выравниванию концентрации по всему объему системы. Этот процесс называется диффузией.
Диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации:
Если какое либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже будет испытывать соударения со стороны молекул, и получать собственный импульс, но направленный в противоположную сторону. Таким образом газ ускоряется, тело тормозиться, то есть, на тело действуют силы трения. Такая же сила трения будет действовать и между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями.
Это явление носит название внутреннее трение или вязкость газа, причём сила трения пропорциональна градиенту скорости:
Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность температур, то между ними будет происходить обмен тепла. Благодаря хаотическому движению, молекулы в соседних слоях будут перемешиваться и их средние энергии будут выравниваться. Происходит перенос энергии от более нагретых слоев к более холодным телам.
Перенос энергии от более нагретых слоев к более холодным телам называется теплопроводностью. Поток тепла пропорционален градиенту температуры:
В состоянии равновесия в среде, содержащей заряженные частицы, потенциал электрического поля в каждой точке соответствует минимуму энергии системы. При наложении внешнего электрического поля возникает неравновесное движение электрических зарядов в таком направлении, чтобы минимизировать энергию системы в новых условиях.
Связанный с этим движением перенос электрического заряда называется электропроводностью, а само направленное движение зарядов электрическим током.
В процессе диффузии, при тепло и электропроводности происходит перенос вещества, а при внутреннем трении – перенос энергии. В основе этих явлений лежит один и тот же механизм – хаотическое движение молекул. Общность механизма, обуславливающего все эти явления переноса, приводит к тому, что их закономерности должны быть похожи друг на друга.
2. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газах
Расстояние, проходимое молекулой в среднем без столкновений, называется средней длиной свободного пробега. Средняя длина свободного пробега равна: где – средняя скорость теплового движения, τ – среднее время между двумя столкновениями. Именно средняя длина свободного пробега, нас и интересует (рисунок 12. 1).
Рис. 12. 1
Модель идеального газа – твёрдые шарики одного диаметра, взаимодействующие между собой только при столкновении. Обозначим σ – эффективное сечение молекулы – полное поперечное сечение рассеяния, характеризующее столкновение между двумя молекулами (рисунок 12. 2).
Чтобы оценить среднюю длину свободного пробега, мы должны проследить процесс столкновения молекул более подробно. Рассмотрим молекулу А, сближающуюся с молекулой А с относительной скоростью V. Расстояние между центрами обеих молекул при их максимальном сближении равно b (pиc. 12. 2). Предположим, что силы, действующие между молекулами, подобны силам, возникающим при столкновении двух твердых шаров с радиусами r 1 и r 2.
Рис. 14. 2. Схема, иллюстрирующая столкновение между двумя твердыми шарами, радиусы которых равны r 1 и r 2. Вертикальной чертой обозначен воображаемый диск; его радиус равен (r 1 + r 2). Диск расположен на сфере с радиусом r 1 молекулы не будут подвергаться действию сил, если расстояние между их центрами b > r 1 + r 2, и будут испытывать действие большой силы, если b < r 1 + r 2. В последнем случае скорость молекул при столкновении заметно изменится, и мы
говорим, что молекулы рассеиваются или испытывают столкновения. Мы можем сформулировать условия, необходимые для столкновения, представив себе, что молекула А несет на себе диск радиусом r 1 + r 2.
Центр диска совпадает с центром молекулы, и плоскость диска перпендикулярна к относительной скорости V. Столкновение между двумя молекулами произойдет только в том случае, если центр молекулы A' окажется внутри объема, занятого воображаемым диском с поверхностью , равной = (r 1 + r 2)2 или, если молекулы одинаковы, так, что r 1 = r 2, = d 2, где d = 2 r – диаметр молекулы. Величина называется полным поперечным сечением рассеяния, характеризующим столкновение между двумя молекулами.
Вычислим теперь среднее время свободного пробега молекулы в разреженном газе. Пусть в единице объема нашего газа содержится n одинаковых молекул. Предположим, что полное поперечное сечение рассеяния известно. Рассмотрим в данный момент времени некоторую молекулу А. Эта молекула движется с какой-то средней относительной скоростью Vср по отношению к другой молекуле А , с которой она может взаимодействовать. Воображаемый диск с поверхностью , несомый молекулой А, движется к молекуле А и за время t вырезает в пространстве объем (Vсрt) (рис. 14. 3). Время t будет равно , если вырезанный объем будет содержать в среднем одну молекулу, т. е. если откуда ( Vср )n = 1, = . Рис. 12. 3
За одну секунду молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости υ. За одну секунду молекула претерпевает ν столкновений. Следовательно (12. 4)
Подсчитаем число столкновений ν. Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Её траектория будет представлять собой линию. Столкновения будут только с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом d (рис. 12. 4). Длина цилиндра за одну секунду равна υ' ; умножив объём υ' S на число молекул в единице объёма n, получим среднее число столкновений в одну секунду: = d 2 ' n (12. 5) Рис. 12. 4
На самом деле все молекулы движутся (и в сторону и на встречу другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друга. По закону сложения случайных величин (12. 6) А так как то получим (12. 7)
Так как p = nk. T, то есть то (12. 8) Таким образом, при заданной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа. (12. 9) Оценим среднюю длину свободного пробега в газе, находящемся при комнатной температуре (Т 300 К) и атмосферном давлении (р 1 атм). Взяв типичное значение радиуса молекулы r ~ 10– 8 см, получим ~ 12 10– 16 см 2 и
Средняя скорость vср молекулы при этих условиях имеет порядок 4 104 см/с, и для среднего времени свободного пробега получаем Таким образом, молекула сталкивается около – 1 ~ 109 раз в секунду с другими молекулами; эта частота соответствует микроволновой области электромагнитного спектра. Согласно оценке получаем >> d, где d ~ 10– 8 см – диаметр молекулы. Из чего следует, что газы при обычных условиях действительно являются достаточно разреженными, так что прежде чем столкнуться с другой молекулой, данная молекула должна пролететь относительно большое расстояние, порядка нескольких тысяч диаметров молекул.
Для идеального газа, состоящего из молекул массами m 1 и m 2 радиусами r 1 и r 2, с концентрациями n 1 и n 2 длины свободного пробега молекул каждого сорта равны где 11 = (2 r 1)2, 12 = 21 = (r 1 + r 2)2, 22 = (2 r 2)2.
3. Процессы переноса в газах Пусть G обозначает такие величины, как энергию, импульс, концентрацию, электрический заряд, отнесенные к одной частице. При наличии пространственной неоднородности величины G имеет место движение G в направлении её уменьшения. Проведем координату x в сторону наискорейшего изменения G. Среднее расстояние, пробегаемое в направлении поверхности d. S, перпендикулярной оси x, между столкновениями, равно l. Поскольку величина l мала, то изменение G на расстоянии l можно представить в виде G(x l) = G(x) ограничиваясь линейной аппроксимацией скорости изменения G в точке x.
Поток молекул в направлении оси x, перпендикулярной d. S, равен nvср, следовательно, количество величины G, переносимое молекулами, пересекающими площадку d. S, равно Поток величины G в положительном направлении x равен:
Полученное уравнение служит основой для рассмотрения процессов переноса величины G. Отметим, что поток величины G не равен нулю лишь при условии наличия пространственной неоднородности в ее распределении 0, и этот поток тем больше, чем сильнее пространственная неоднородность в распределении G(x).
3 а. Диффузия газов Диффузия от латинского diffusio – распространение, растекание взаимное проникновение соприкасающихся веществ друга, вследствие теплового движения частиц вещества. Рис. 12. 4.
Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси зависит от координаты х (рис. 14. 4). (12. 10) – в общем случае. Так как у нас одномерная задача, то При наличии gradn, хаотическое движение будет более направленным – стремиться выровняться по концентрации и возникнет поток молекул примеси, направленных от мест с большей концентрацией к местам с меньшей концентрацией. Найдём этот поток.
Пусть в плоскости с координатой х находится единичная площадка S перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул, проходящих через площадку в направлении слева направо (N+) и справа налево (N ) – за время t (рис. 12. 5).
N=N 1'-N 1'' (12. 11) (12. 12) где n 1' концентрация молекул слева от площади, а n 2'' концентрация молекул справа от площади. Через поверхность S, будут пролетать молекулы, претерпевшие последнее соударение на различных расстояниях от S. Однако в среднем последнее соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега . Поэтому в качестве n 1' разумно взять значение n 1(x- ), а в качестве n 2'' – значение n 1(x+ ). Тогда с учетом (12. 11) (12. 13)
Поскольку очень мала, разность значений функций n(x), стоящую в квадратных скобках, можно представить в виде Подставив это в выражение (14. 13), получим, что (12. 14) Сравнение выражения (12. 14) с формулой (12. 1) показывает, что исходя из молекулярно-кинетических представлений, удается не только прийти к правильной зависимости N 1 от dn 1/dx, но и получить выражение для коэффициента диффузии D.
(12. 15) Более строгий расчет приводит к такой же формуле, но с несколько отличным числовым коэффициентом. (12. 16) или в общем случае (в трёхмерной системе) N = - D grad n (12. 17) Уравнение Фика. Поток, направленный в сторону уменьшения концентрации численно равен потоку через единицу площади в единицу времени при grad n = 1.
3 б. Внутреннее трение. Вязкость газов Рассмотрим ещё одну систему координат (рис. 12. 6) υ от х. Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х, движется пластинка со скоростью υ0, причём υ0<<υT (υT – скорость теплового движения молекул). Пластинка увлекает за собой прилегающий слой газа, тот слой – соседний и так далее. Весь газ делится как бы на тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем дальше они от пластинки. Раз слои газа движутся с разными скоростями, возникает трение. Какова же здесь природа трения? Ведь силы притяжения в газе малы!
Рис. 12. 6 Например, в твёрдых телах силы трения имеют электромагнитную природу. Каждая молекула газа в слое принимает участие в двух движениях: тепловом и направленном.
Но так как направление теплового движения хаотически меняется, то в среднем вектор тепловой скорости равен нулю. При направленном движении вся совокупность молекул будет дрейфовать с постоянной скоростью υ. Таким образом средний импульс отдельной молекулы в слое определяется только дрейфовой скоростью υ: p 0=m 0υ. Но так как молекулы участвуют в тепловом движении, они будут переходить из слоя в слой. При этом они будут переносить с собой добавочный импульс, который будет определяться молекулами того слоя, куда перешла молекула. Перемешивание молекул разных слоёв приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слоёв, что и проявляется макроскопически как действие сил трения между слоями.
Вернёмся к рис. 12. 6 и рассмотрим элементарную площадку d. S перпендикулярно оси х. Через эту площадку за время dt влево и вправо переходят потоки молекул. Как мы уже говорили (12. 18) Через площадку S в единицу времени переносится импульс K=N(mu 1 -mu 2) (m – масса молекулы). Подстановка выражения (14. 18) для N дает (12. 19)
Подстановка этих значений в (12. 19) дает для потока импульса в направлении оси z выражение (12. 20) Приняв во внимание, что произведение nm равно плотности газа , можно записать (12. 21) Сравнение с формулой (12. 2) дает выражение для коэффициента вязкости (12. 22)
Уравнение (12. 22) называют уравнением Ньютона, где D – коэффициент диффузии; ρ – плотность. Физический смысл η в том, что он численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости равном единице (grad S).
3. 5. Теплопроводность газов Учение о теплопроводности начало развиваться в XVIII в. и получило свое завершение в работах французского ученого Ж. Фурье (1786 – 1830), опубликовавшего в 1822 г. книгу «Аналитическая теория теплоты» .
3 в. Теплопроводность газов Рассмотрим газ, заключённый между двумя параллельными стенками, имеющих разную температуру (Та и Тб (рис. 12. 7)). Рис. 14. 7
Итак, у нас имеется градиент температуры тогда через газ в направлении оси х будет идти поток тепла. Хаотично двигаясь, молекулы будут переходить из одного слоя газа в другой, перенося с собой энергию. Это движение молекул приводит к перемешиванию молекул, имеющих различную кинетическую энергию здесь i – число степеней свободы молекулы. При подсчёте потока тепла введём следующие упрощения: 1) υ =const (средне арифметическая скорость). 2) Примем, что концентрация молекул в соседних слоях тоже одинакова, (хотя на самом деле она различается. Это упрощение даёт ошибку 10 %).
Снова вернёмся к рисунку: через площадку S за единицу времени проходит молекул: (12. 23) Средняя энергия этих молекул Wк – соответствует значению энергии в том месте, где они испытывают последнее результирующее столкновение. Для одной молекулы газа: (12. 24) соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соударение с другой молекулой.
В соответствии со сказанным для потока тепла через площадку S в положительном направлении оси x получается выражение где N – определяется формулой (12. 23). Подстановка значений N, Wk 1, Wk 2 дает (12. 25) Разность T 1–T 2 равна (12. 26) Здесь - производная от Т по оси х в том месте, где расположена плоскость S. Тогда (12. 27)
Сопоставление этой формулы с формулой (12. 3) дает для коэффициента теплопроводности следующее выражение (12. 28) выражение определяет теплоемкость при постоянном объеме Сv моля газа, т. е. количество тепла, необходимого для нагрева газа, содержащего NA молекул, на один градус.
Аналогично выражение ink/2 представляет собой теплоемкость количества газа, содержащего n молекул, т. е. теплоемкость единицы объема газа. Эту теплоемкость можно получить, умножив удельную теплоемкость cv (теплоемкость ед. массы) на массу ед. объема, т. е. на плотность газа . Таким образом, (12. 29) Тогда коэффициент теплопроводности (12. 30) - уравнение Фурье (12. 31)
3. 6. Уравнения и коэффициенты переноса Сопоставим уравнения переноса Уравнение Фика для диффузии. Коэффициент диффузии
или для трения. уравнение Ньютона Коэффициент вязкости:
Или Уравнение Фурье для теплопроводности. Коэффициент теплопроводности:
Все эти законы были установлены опытно, задолго до обоснования молекулярно-кинетической теорией. Эта теория позволила установить, что внешнее сходство уравнений обусловлено общностью лежащих в их основе молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их теплового хаотического движения.
Рассмотрим зависимость коэффициентов переноса от давления p. Так как скорость теплового движения молекул и не зависит от давления p, а коэффициент диффузии D~λ и зависимости λ(p). При обычных давлениях в разряженных газах, в высоком вакууме D=const. Нужно сказать, что вакуум – понятие относительное. Для газа – нормальное давление 1 атм, а ~10 5 – вакуумное. С ростом давления уменьшается λ и затрудняется диффузия (D 0). При T = const ρ ~ p отсюда, при обычных давлениях: , ρ ~ p, η = const; в вакууме D = const, ρ ~ p, η ~ ρ.
С увеличением p и ρ, повышается число молекул переносящих импульс из слоя в слой, но даёт уменьшенное расстояние свободного пробега λ. Поэтому вязкость η не зависит от давления p – это Рис. 12. 8 подтверждено экспериментально. На (рис. 12. 8) показаны зависимости коэффициентов переноса и λ от p. То есть здесь изображено всё, о чём мы говорили выше. Эти зависимости широко используют в технике (например при измерении вакуума).
Молекулярное течение. Эффузия газов Молекулярное течение – течение газов в условиях вакуума. То есть, когда молекулы не сталкиваются друг с другом. В вакууме происходит передача импульса непосредственно стенкам сосуда, то есть происходит трение газа о стенки сосуда. Трение перестаёт быть внутренним и понятие вязкости теряет свой прежний смысл (как трение одного слоя газа о другой). Течение газа в условиях вакуума через отверстие (под действием разности давлений) называется эффузией газа.
Как при молекулярном течении, так и при эффузии количество протекающего в единицу времени газа обратно пропорционально корню квадратному из молярной массы: (14. 32) Эту зависимость тоже широко используют в технике (например – при разделении изотопов газа U 235 отделяют от U 238, используя газ UF 6).
7. Понятие о вакууме Газ называется разреженным (разреженный газ), если его плотность столь мала, что средняя длина свободного пробега молекул λ может быть сравнима с линейными размерами l сосуда, в котором находится газ. Такое состояние газа также называется вакуумом. Различают следующие степени вакуума: сверхвысокий ( λ >>l), высокий ( λ >l), средний ( λ l) и низкий вакуум. В трех первых степенях вакуума свойства разряженных газов отличаются от свойств неразряженных газов. Это видно из таблицы, где приведены некоторые характеристики различных степеней вакуума.
Вакуум Характеристика низкий средний высокий Сверхвысокий Давление в мм. рт. ст 760 – 1 1 – 10 3 – 10 7 10 8 и менее Число молекул в единице объема (в м 3) 1025 – 1022 – 1019 – 1013 и менее Зависимость от давления коэффициентов и вязкости и теплоемкости Не зависит от давления Зависимость р определяется параметром Прямопропорциональны давлению Теплопроводность и вязкость практически отсутствуют
В состоянии высокого вакуума уменьшение плотности разряженного газа приводит к соответствующей убыли частиц без изменения λ. Следовательно, уменьшается число носителей импульса или внутренней энергии в явлениях вязкости и теплопроводности. Коэффициент переноса в этих явлениях прямо пропорциональны плотности газа. В сильно разряженных газах внутреннее трение по существу отсутствует. Вместо него возникает внешнее трение движущегося газа о стенки сосуда, связанное с тем, что молекулы изменяют свои импульсы только при взаимодействии со стенками сосуда. В этих условиях коэффициент трения в первом приближении пропорционален плотности газа и скорости его движения.
Удельный тепловой поток в сильно разряженных газах пропорционален разности температур и плотности газа. Стационарное состояние разряженного газа, находящегося в двух сосудах, соединенных узкой трубкой, возможно при условии равенства встречных потоков частиц, перемещающихся из одного сосуда в другой: n 1 υ1 = n 2 υ2 , где n 1 и n 2 – число молекул в 1 см 3 в обеих сосудах; υ1 и υ2 – их средние арифметические скорости.
Если Т 1 и Т 2 – температуры газа в сосудах, то предыдущее условие стационарности можно переписать в виде уравнения, выражающего эффект Кнудсена: где р1 и р2 – давления разряженного газа в обоих сосудах.
Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, например, во многих современных электронных приборах используются электронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях высокого вакуума. Для получения различных степеней разрежения применяются вакуумные насосы (рис. 3. 8), позволяющие получить предварительное разрежение (форвакуум) до ≈ 0, 13 Па, а также высоковакуумные насосы и лабораторные приспособления, позволяющие получить давление до 13, 3 мк. Па – 1, 33 п. Па (10– 7 – 10– 14 мм рт. ст. ).
Рис. 3. 8. Современные вакуумные насосы. Слева – форвакуумный, справа – магниторазрядный высоковакуумный насос типа «НОРД»
Лекция окончена!
Скачать презентацию Процессы переноса Курс общей физики Лекция 12
lek12 Процессы переноса.ppt