Проценты Мишенькина Т И лицей

Проценты • Мишенькина Т. И. • лицей № 9 им. А. С. Пушкина • Г. Зеленодольск РТ

Простые и сложные проценты. 1. Простые проценты.

1. Нахождение процента от числа На ремонт мебели в школе затрачено 1 200 руб. 45% этой суммы пошло на оплату труда столярам, а остальная часть — на материалы. Сколько было израсходовано на оплату труда и сколько на материалы? Решение: Найдём сначала, сколько уплатили столярам. Из условия задачи видно, что им уплатили 45% от 1 200 руб. 1200: 100 • 45=540 руб. Из этой записи видно, что для нахождения нескольких процентов от числа нужно это число разделить на 100 и умножить на число процентов. Эту мысль можно записать в виде формулы; обозначим искомое число буквой b, данное в задаче число — буквой а и число процентов буквой р. Таким образом, формула примет вид: Теперь нам нужно ещё найти стоимость материалов Найдём сначала, сколько процентов составляет стоимость материалов от общей суммы ремонта. Так как на рабочую силу израсходовано 45%, то на материалы: 100 % - 45 % = 55 %. Следовательно, нам нужно найти 55% от 1 200 руб. Мы можем воспользоваться теперь формулой. В данном случае вместо а подставим 1 200, а вместо р число 55. Получим следующее: (руб. ) Таким образом, из 1200 руб. рабочим уплатили 540 руб. , а на материалы израсходовали 660 руб. Ответ: 540 руб. , 660 руб.

2. Нахождение числа по его проценту Задача : На оплату труда израсходовано 540 руб. , и это составляет 45% от общей суммы ремонта. А остальная часть - на материалы. Во что обошёлся ремонт мебели? Решение: Задача требует, зная 45% числа, найти 100% его, т. е. всё число. Поступим так: найдём сначала 1% (путём деления данного числа на 45), а потом найдём 100% (умножением): Эту мысль можно записать в виде, формулы. Для этого обозначим искомое число буквой а, данное в задаче число, соответствующее нескольким процентам, — буквой b, а число процентов— буквой р. Тогда формула примет вид: . Воспользуемся этой формулой для того, чтобы, зная стоимость материалов (660 руб. ) и соответствующее ей число процентов (55%), найти снова всю сумму денег, затраченных на ремонт: (руб. ) Ответ: 1200 руб.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел Задача: На 10 кг муки получилось 4, 5 кг припёка. Сколько процентов составляет припёк от данного количества муки? Решение: Попробуем составить формулу для решения этой задачи. Припомним указание, сделанное к первой задаче. Там было сказано, что для решения подобных задач нужно разделить одно из чисел на другое (взять их отношение) и полученное частное умножить на 100. Обозначим одно из чисел буквой а, другое — буквой А, число процентов — буквой р. Тогда формула примет вид: Применим её к решению нашей задачи, подставив в неё вместо букв числа из задачи: p=4, 5 • 100/10=45% Ответ. Припёк составляет 45%.

Задачи на сплавы, растворы и смеси Задача 1: Слиток сплава серебра с цинком весом в 3. 5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10. 5 кг, содержание серебр в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке? Решение: 1) 3. 5 -0. 76 = 2. 66 (кг) серебра в первом слитке. 2) 10. 5 -0. 84 = 8. 82 (кг) серебра в 10. 5 кг сплава. 3) 8. 82 - 2. 66 = 6. 16 (кг) серебра во втором слитке. 4) 10. 5 - 3. 5 = 7 (кг) вес второго слитка. 5) 6. 16: 7 = 0. 88 = 88% серебра содержалось во втором слитке. Ответ: 88% серебра. Задача 2: Сколько граммов 8% серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей 62% серной кислоты? Решение: 1) 200 • 0. 62 = 124 (г) - столько крепкой (100%) серной кислоты содержится в 200 г 62 -х процентной кислоты. 2) 124: 0. 08 = 1550 (г) - столько 8 -ми процентной кислоты можно получить из 200 г 62 -х процентной серной кислоты. Ответ: 1550 г.

2. Сложный процент. S - доход, планируемый к получению в n-ом году; Р - текущая стоимость, т. е. оценка величины S- c позиции текущего момента; .

1. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС. A 2= A 1 + A 1 • P/100. или A 2= A 1 • (1 + P/100). Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит. A 2= 10000 • (1+5/100) = 10000 • 1. 05 = 10500. 2. Формула уменьшения числа на заданный процент. A 2= A 1 • (1 - P / 100). Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет: A 2= 10000 • (1 - 13/100) = 10000 • 0. 87 = 8700. 3. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС. Обозначим p = P / 100, тогда: A 1= A 2 + p • A 2= A 1 / (1 + p). Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет: A 2= 1180 / (1 + 0. 18) = 1000.

4. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов. Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов. S = K + (K • P • d/D)/100 Sp = (K • P • d/D)/100 Где: S — сумма банковского депозита с процентами, Sp — сумма процентов (доход), K — первоначальная сумма (капитал), P — годовая процентная ставка, d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу, D — количество дней в календарном году (365 или 366). Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов. S = 100000 + 100000 • 20 • 365/100 = 120000 Sp = 100000 • 20 • 365/100 = 20000

5. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов. Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов. S = K • ( 1 + P • d/D/100 )n Где: S — сумма депозита с процентами, К — сумма депозита (капитал), P — годовая процентная ставка, n — число периодов начисления процентов. При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход): Sp = S - K = K • ( 1 + P • d/D/100 )n - K или Sp = K • (( 1 + P • d/D/100 )n - 1) Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней. S = 100000 • (1 + 20 • 30/365/100)3 = 105 013. 02 Sp = 100000 • ((1 + 20 • 30/365/100)n - 1) = 5 013. 02

6. Еще одна формула сложных процентов. Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так. S = K • ( 1 + P/100 )n Где: S — сумма депозита с процентами, К — сумма депозита (капитал), P — процентная ставка, n — число периодов начисления процентов. Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1. 5 процента в месяц. S = 100000 • (1 + 1. 5/100)3 = 104 567. 84 Sp = 100000 • ((1 + 1. 5/100)3 - 1) = 4 567. 84

Задачи на расчет сложного процента Задача 1: В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды? Решение: Ответ: через три секунды скорость будет 13, 31 м/с. Задача 2: Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 руб. Какая сумма будет на его счете через полгода? Решение: (1+2 • 6/100) • 500=1, 12 • 500=560(руб). Ответ: 560 руб. Задача 3: В книжном магазине энциклопедию по биологии стоимостью 350 рублей уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что после двойного сложения цен энциклопедия стоит 283 рубля 50 копеек. Решение: 350(1 -0, 01 р)2=283, 5 (1 -0, 01 р)2=0, 81 1 -0, 01 р=0, 9 0, 01 р=0, 1 р=10 Ответ: энциклопедию уценивали на 10%.

Задача 4: Цена 51, 2 рубля за шариковую ручку трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилась цена ручки 21, 6 рубля. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену шариковой ручки? Попробуем по приведенным цифрам рассчитать, на сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену капиллярной ручки. Это задача на расчет сложного процента. Расчет сложных процентов производится по формуле сложного процентного роста: Действительно, если изменение числа на р% заменить умножением на нужное число, то, увеличив число S на р%, получим То есть чтобы увеличить число на р%, достаточно умножить его на и чтобы число уменьшить на р%, достаточно умножить его на Решение: Вернемся к задаче и из условия задачи имеем Ответ: цена капиллярной ручки увеличивалась и уменьшалась на 50%.

Задача 5: 1 января вкладчик положил на счет в банке 2000 рублей по схеме обыкновенный процент и приблизительное число дней под 22% годовых. По какое число нужно делать вклад, чтобы получить 2350 рублей? Решение : Длительность года по схеме приблизительное число дней будет 360. Преобразуем формулу однократных внутригодовых начислений таким образом, чтобы выделить число дней финансовой операции: т. е. 286 дней = 30 • 9 + 16 дней. Ответ. Вклад нужно сделать на 9 месяцев и 16 дней, то есть по 16 октября.