Проблемы счастливых чисел Омск 2013 Определение счастливого

Проблемы счастливых чисел Омск, 2013

Определение счастливого числа Счастливое число - это такое число, для которого последовательность, образованная суммой квадратов его цифр, затем суммой квадратов цифр полученного и т. д. через конечное число шагов достигает единицы. Высота счастливого числа – это минимальное число шагов, необходимое до достижения единицы.

Счастливое число 7 7→ 72 = 49 → 42+92 = 97 → 92+72= 130 → 12+32 +02 = 10 → 12+02→ 1 Высота = 5

Число 13 также является счастливым в силу определения: 13 → 12+32 = 10 → 12+02 = 1

Число 2 не является счастливым 2 → 22=4 → 42=16 → 12+62=37 → 32+72=58 → 52+82=89 → 82+92=145 → 12+42+52=42 → 42+22=20 → 22+02=4 В дальнейшем набор чисел будет повторяться.

Первая сотня счастливых чисел 1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100 103 109 129 130 133 139 167 176 188 190 192 193 208 219 226 230 236 239 262 263 280 291 293 301 302 310 313 319 320 326 329 331 338 356 362 365 367 368 376 379 383 386 391 392 397 404 409 440 446 464 469 478 487 490 496 536 556 563 565 566 608 617 622 623 632 635 637 638 644 649 653 655 656 665 671 673 680 683 694

Последовательные наборы счастливых чисел первая пара последовательных счастливых чисел– это 31 и 32 первая тройка – 1880, 1881, 1882 первая пятерка – 44488, 44489, 44490, 44491, 44492.

Последовательные наборы счастливых чисел Лишь в 1998 г. А. Кибис и Мак Гранье независимо указали первую четвёрку последовательных счастливых чисел: 7839, 7840, 7841, 7842

Известны наименьшие счастливые числа с высотами от 0 до 6: Высота 0 1 2 3 4 5 6 Счастливое число 1 10 13 23 19 7 356

Является ли число 78999 - счастливым наименьшим числом высоты 7? 1 2 3 4 5 6 7 78999→ 356→ 70→ 49→ 97→ 130→ 1 Число 78999 является счастливым наименьшим числом высоты 7, что независимо друг от друга доказали Мак Гранье и А. Кибис в 1998 г.

Ленстра (H. Lenstra) показал, что существуют сколь угодно длинные наборы последовательных счастливых чисел.

"Нерешенные проблемы в теории чисел" Известный специалист по теории чисел канадский математик Ричард Гай во втором "Нерешенные издании своей проблемы в книги теории чисел" отмечает следующие вопросы: 1) Как много последовательных наборов счастливых чисел? Конечно или бесконечно их число? 2) Какой длины бывают бреши в последовательности счастливых чисел? 3) Является ли число 78999 наименьшим счастливым числом высоты 7?

Счастливые числа в десятичной системе счисления 1. А. Кибис исследовала числа от 1 до 10000: 1437 счастливых чисел 2. 191 пара счастливых чисел (напр. 31, 32) Наименьшее расстояние между парами чисел (2571 - 2572 и 2574 – 2575) равно 1 3. Наибольшее расстояние между парами чисел (6533 - 6534 и 7124 – 7125) равно 590 натуральных числа или 66 счастливых 4. 5. 6 троек счастливых чисел

Счастливые числа в десятичной системе счисления 6. Наименьшее расстояние между тройками чисел (8470 - 8471 - 8472 и 8740 -8741 -8782) равно 268 натуральных чисел или 33 счастливых числа 7. Наибольшее расстояние между тройками чисел (1880 - 1881 - 1882 и 4780 - 4781 – 4782) равно 2898 натуральных чисел или 364 счастливых числа 8. Четверка счастливых чисел (7839, 7840, 7841, 7842)

Конечны ли счастливые числа? Существуют такие пары и тройки счастливых чисел пяти, шестизначные и т. д. значные, которые записаны такими же цифрами, как и наши пары и тройки счастливых чисел, с добавлением нулей, разрядность которых увеличивается. 2571 - 2572 и 2574 - 2575; 257001 - 257002 и 257004 - 257005 Они тоже являются счастливыми, т. к. 0 в квадрате дает 0. Следовательно, и сумма квадратов цифр в парах, тройках при добавлении нулей, (т. е. повышение разрядности) не изменяется.

Конечны ли счастливые числа? Количество этих пар, троек, четверок счастливых чисел бесконечно. Но надо учитывать, что расстояние между счастливыми числами должно быть равно единице, чтобы образовывать пару или тройку.

Список литературы Richard К. Guy. Unsolved Problems in Number Theory (Se cond Edition). New York: Springer Verlag, 1994. Кибис А. Счастливые числа в различных системах счисления. – Обнинск, 1999. Мартынов Л. М. Трижды счастливое число// Газета «Класс» , июнь 1998, № 11(42), с. 14. О счастливых числах // Математика и информатика: наука и образование: Межвузовский сборник научных трудов: Ежегодник. – Омск: Изд во Ом. ГПУ. – 2009. – вып. 8. – С. 25– 28. Савин А. П. На круги свои // Квант – 1987. – № 1. – С. 24 27. http: //dsmitry. ru/Richard_Guy