ПРОБЛЕМЫ КОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ Выполнила: Шевелева В. С. магистрант 2 -го года обучения Направление «Математическое образование»
СОДЕРЖАНИЕ Введение Аффинные плоскости Конечная аффинная плоскость Проблемы конечной геометрии Построение конечной аффинной плоскости порядка n.
ВВЕДЕНИЕ Восемьдесят – девяносто лет тому назад математики задумались над тем, насколько обоснованны их умозаключения при доказательстве теорем. После почти двадцати лет волнений и напряженных трудов были выработаны те нормы математической строгости, по которым строится любая «уважающая себя» теория и в наши дни.
ВВЕДЕНИЕ Тогда же было спасено от разрушения и реставрировано величественное и вместе с тем стройное геометрии; с тех здание пор евклидовой ее вечным фундаментом стали 20 аксиом, описанным Дави д Ги льберт (23. 01. 1862 — 14. 02. 1943) Давидом Гильбертом в его «Основаниях геометрии» .
ВВЕДЕНИЕ Евклидову геометрию можно сравнить со знаменитым Кельнским собором. Совсем иначе геометрии: материала Кельнским собором устроены минимум – конечное конечные строительного число точек, прямых и плоскостей, минимум правил обращения с этим материалом – тричетыре аксиомы, регулирующие отношения между точками, прямыми и плоскостями.
КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ Карл Георг Христиан фон Штаудт Конечные геометрии появились в конце XIX в. как синтез комбинаторики, теоретико-групповых представлений, методики планирования экспериментов и статистической обработки данных. Пример такой геометрии впервые построили фон Штаудт и Веронезе, а арифметические модели дискретных геометрий известны с конца XIX в. Впервые термин конечные геометрии появился в начале XX в. в статьях Гессенберга, в которых проективная геометрия строилась над полем вычетов по модулю p.
КОНЕЧНАЯ АФФИННАЯ ПЛОСКОСТЬ Элементы, из которых строится мини-плоскость – «точки» и «прямые» . Точка А может лежать на прямой а или: точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А, прямая а содержит точку А. О точках и прямых допустимы любые другие высказывания, которое можно выразить через это основное отношение.
КОНЕЧНАЯ АФФИННАЯ ПЛОСКОСТЬ Конечную совокупность точек отношением «лежать на» или и прямых с «принадлежать» мы будем называть конечной аффинной плоскостью, если выполнены следующие три аксиомы: А 1. Через любые две точки проходит единственная прямая. А 2. Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая параллельная данной прямой. А 3. Существует три точки, не лежащие на одной прямой.
КОНЕЧНАЯ АФФИННАЯ ПЛОСКОСТЬ Минимальная из мини- плоскостей, удовлетворяющая нашим трем аксиомам, содержит четыре точки и шесть прямых.
АФФИННЫЕ ПЛОСКОСТИ Простейшая аффинная плоскость из четырех точек и шести прямых Аффинная плоскость из девяти точек и двенадцати прямых
ТЕОРЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ НА КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ Теорема А 4. Если параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. Теорема А 5. Существуют три прямые, попарно пересекающиеся в трех разных точках. Теорема А 6. Если прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c, то прямая a параллельна прямой c.
ТЕОРЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ НА КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ Теорема А 7. На каждой прямой любой конечной аффинной плоскости лежит не мене двух различных точек. Теорема А 8. В любой точке конечной аффинной плоскости пересекается не мене трех прямых. Теорема А 9. Любые две прямые e и e' конечной аффинной плоскости содержат одинаковое число точек.
ТЕОРЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ НА КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ Порядком конечной аффинной плоскости называется число точек на любой прямой этой плоскости. Теорема А 10. Через любую точку плоскости проходит одинаковое число прямых: для плоскости порядка n это число равно n+1. Теорема А 11. Если порядок плоскости равен n, то любая прямая плоскости принадлежит семейству (пучку), состоящему из n разных попарно параллельных прямых. Теорема А 12. Любая плоскость порядка n содержит прямых. n 2 + n
ПРОБЛЕМА Для каких n существует конечная аффинная плоскость порядка n? Полного решения этой проблемы до сих пор нет. Все, что известно, исчерпывается двумя замечательными теоремами. Теорема 1. Если число n простое или степень простого, то плоскость порядка n существует. Теорема 2. Если число n при делении на 4 дает в остатке 1 или 2 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число p вида p=4 k+3, то конечной аффинной плоскости порядка n не существует.
ПРОБЛЕМА Для каких n существует конечная аффинная плоскость порядка n? Теорема 2. Если число n при делении на 4 дает в остатке 1 или 2 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число p вида p=4 k+3, то конечной аффинной плоскости порядка n не существует. Первое из чисел, удовлетворяющих условию теоремы 2, число n=6: 6=4+2, 6=3· 2. Итак, плоскости из 36 точек не существует! Трудная теорема 2 была доказана в 1949 году; Она позволяет исключить из рассмотрения бесконечно много чисел, например числа 77 и 78.
ПРОБЛЕМА Для каких n существует конечная аффинная плоскость порядка n? синие – это те числа для которых по теореме 1 существует плоскость соответствующего порядка, красные это те числа для которых по теореме 2 такой плоскости не существует, для черных чисел открыта пока как первая, так и вторая возможности. Проблем а решена 1989 г.
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА N Построение конечного поля Определение. Поле, состоящее из т элементов ( ), называется конечным полем порядка т. Теорема 5. 1. Любое конечное поле имеет порядок рn, где р некоторое простое число , а n - натуральное число. 2. Для любого простого р и любого существует поле порядка рn. 3. Любое поле порядка рn является полем разложения многочлена. 4. Любые два поля порядка рn изоморфны.
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА N Построение конечного поля Следствие 1. Для любого натурального n существует неприводимый многочлен в Zp [х] степени n. Конечное поле из рn элементов является полем разложения некоторого неприводимого многочлена из Zp [х] степени n.
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ А ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА N Построение конечного поля Строим поле : 1. Пусть р - некоторое простое число , а n натуральное число. 2. Найти неприводимый нормированный многочлен степени n над Zp [х] 3. Выписать все многочлены из степени, меньшей n; 4. Определить операцию сложения многочленов; (при сложении коэффициенты складывать т. е. результат сложения чисел равен сравнению по модулю p результата их обычного сложения)
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА N Построение конечного поля 5. Определить операцию умножения многочленов по модулю p(x) (т. е. произведение двух многочленов — остаток от деления результата их обычного умножения на неприводимый нормированный многочлен ); Таким образом, на 4 -м и 5 -м этапах составляются таблицы Кэли, иллюстрирующие, что мы определили бинарную алгебраическую операцию на нашем множестве и получили поле { [x], +, ∙}
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА pn Для более наглядной интерпретации полученного поля построим конечную аффинную плоскость 1. Расположить точек в виде квадрата ; 2. Пронумеровать вертикальные и горизонтальные ряды узлов целыми числами от 0 до pn-1 ; 3. Поставить каждой точке (узлу) в соответствие пару , где – номера рядов, на пересечении которых находится данная точка; 4. Используя множество и введенные на нем операции – определим теперь конечную аффинную плоскость порядка pn.
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА pn Точками этой плоскости будем называть пары чисел (x, y), где x и y принадлежат , всего имеется (pn)2 таких пар. Прямой этой плоскости будет любое множество таких пар, координаты которых удовлетворяют: либо некоторому уравнению вида x=s, где s – элемент набора либо уравнению вида y=ax+b, где оба числа a, b – принадлежат набору
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА F 3 ={0, 1, 2} Сложение: Умножение: 0 1 2 0 0 1 1 2 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА F 3 ={0, 1, 2} y=x+1 y=x+2 y=2 x+1 y=2 x+2 l 1={(0, 0); (1, 1); (2, 2)} l 2={(0, 1); (1, 2); (2, 0)} l 3={(0, 2); (1, 0); (2, 1)} l 4={(0, 0); (1, 2); (2, 1)} l 5={(0, 1); (1, 0); (2, 2)} l 6={(0, 2); (1, 1); (2, 0)} y=0, y=1, y=2 x=0, x=1, x=2
ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЙ АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ ПОРЯДКА F 3
ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 4. 5. Афанасьев В. В. . Конечные геометрии. – Ярославль, 2007. Беве Л. Мини геометрия Квант 1976 № 6 Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. —М. , 1962. Лидл Р. , Нидеррайгер Г. Конечные поля. – М. : Мир, 1988. Мартынов Л. М. Элементы алгебры и теории чисел: Учеб. Пособие. – Омск: Изд-во Сиб. АДИ, 2004. – 195 с.
Скачать презентацию ПРОБЛЕМЫ КОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ Выполнила Шевелева В С магистрант
конечная геометрия (Шевелева В.С.).ppt