Проблема раски карт Выполнила:

Проблема раски карт Выполнила: магистрант 2 -го года обучения Заикина Н. А. Омск 2013

У данной проблемы имеются различные названия: • Проблема четырех красок • Проблема раски карт • Задача о раске карт • Задача Гутри Мы будем использовать термин «проблема четырех красок» .

Проблема раски карт Пусть М – произвольная карта; будем говорить, что карта М допускает раску в 4 цвета, если каждую страну этой карты можно окрасить в один из этих цветов так, чтобы любые две соседние страны были разного цвета.

Проблема раски карт Будем говорить, что две страны, на географической карте, нарисованной на сфере (или на плоскости) являются соседними , если они имеют, по крайней мере, одну общую границу. Если у государств лишь одна общая точка, они не являются соседними. Мы будем рассматривать только такие карты на сфере, в которых граница любой страны состоит из одной замкнутой кривой.

Проблема раски карт Закраска карты не вызовет проблем до тех пор, пока мы не дойдем до самой последней страны. Чаще всего получается так, что для нее выбор из четырех красок оказывается недостаточным, так как все ее соседки уже раскрашены в четыре цвета. .

Чтобы не нарушать исходного условия, нам придется взяться за перекраску однажды уже окрашенных стран; в этом как раз и состоит проблема четырех красок.

Проблема раски карт Задача заключается в том, чтобы раскрасить данную географическую карту (рис. 1, а) так, чтобы пограничные страны были окрашены в разные цвета (не пограничные страны можно окрашивать одним цветом), использовав при этом наименьшее число красок. Рис. 1.

Проблема раски карт На рисунке 1, б изображена карта, для раски которой требуется три цвета. На рисунке 1, в изображена карта, для раски которой трех цветов недостаточно и требуется четыре цвета. Рис. 1

Краткая история Октябрь, 1852 год , Френсис Гатри раскрашивая карту графств Англии, обнаружил, что он может обойтись всего лишь четырьмя цветами. Его заинтересовало - правда ли, что любую карту, можно раскрасить четырьмя цветами? Заинтригованный, Гатри упомянул об этой задаче в беседе со своим братом Фредериком.

Тот, в свою очередь, рассказал о ней своему профессору, знаменитому Августу де Моргану , который в письме от 23 октября сообщил об этой задаче великому ирландскому математику и физику Уильяму Роэну Гамильтону. Август де Морган 1806 – 1871 гг.

Гамильтону не удалось придумать карту, для раски которой потребовалось бы пять цветов, но он не сумел и доказать, что такой карты не существует. Уильям Роэн Гамильтон 1805 – 1865 гг.

1879 год, Альфреду Брей Кемпе удалось доказать, что для раски любой карты требуется самое большое четыре краски, и тщательное изучение доказательства вроде бы подтверждало его правильность. 1890 год, Перси Джон Хивуд опубликовал работу, потрясшую математический мир. Через 10 лет после того, как Кемпе, казалось бы решил проблему четырех красок, Хивуд не оставил от его решения камня на камне, показав, где в решении Кемпе была допущена принципиальная ошибка. Единственной хорошей новостью было то, что Хивуду удалось получить оценку для максимального числа красок: оно могло быть равно четырем или пяти, но не более.

1925 год, Филипп Франклин, оставив в стороне общую проблему четырех красок, сумел доказать, что для раскрашивания любой карты, содержащей не более 25 областей, требуется только четыре краски. 1926 год, Рейнольдс обобщил доказательство Франклина, сумев довести число областей до 27.

1940 год, Винн распространил доказательство на карты с 35 областями. 1970 год, Оре и Стемпл увеличили число областей до 39. Со временем стало ясно, что традиционные подходы не позволяют преодолеть пропасть, отделяющую предложенное Оре и Стемплом доказательство для карт, возможно, состоящих из бесконечно большого числа областей.

в 1975 году известный популяризатор науки и многолетний ведущий раздела «Математические игры» журнала «Scientific American» Мартин Гарднер опубликовал карту, для раскрашивания которой якобы требовались пять красок.

Однако номер журнала «Scientific American» вышел 1 апреля, а Гарднер был великолепно осведомлен о том, что хотя раскрасить его карту четырьмя красками довольно трудно, но отнюдь не невозможно.

1969 год, Х. Хееш , показал, что доказательство сводится к проблеме неприводимых конфигураций. 1976 год, Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, предложили новый метод. Они изучили работу Хееша, и свели проблему четырех красок «всего лишь» к 1482 конфигурациям.

В июне 1976 года, затратив 1200 часов машинного времени, Хакен и Аппель заявили во всеуслышание, что им удалось проанализировать все 1482 карты и для раскрашивания ни одной из них не требуется более четырех красок. Проблема четырех красок Гатри была, наконец решена.

Теорема о раске карт (Хивуд) Хивуд доказал, что любая карта на торе допускает раску в 7 цветов. Пусть S 1 – поверхность сферы с p ручками. Поверхность Sp является стандартной моделью ориентируемой поверхности рода p. S 0 – сфера, S 1– тор.

Теорема о раске карт (Хивуд) Если S – некоторая поверхность и любая карта на S допускает раску в n цветов, но не любая карта допусает раску в n – 1 цветов, то мы будем называть n хроматическим числом поверхности S и писать n. (S) =

Например, мы не знаем равно 4 или 5 хроматическое число ᵡ(Sp) cферы S 0, но знаем, что ᵡ(S 1)=7 Также в статье Хивуд доказал следующее неравенство для хроматического числа ориентируемой поверхности рода p≥ 1. Символом [x] обозначено наибольшее целое число , не превосходящее х.

Для бутылки Клейна число равно 6, а для сферы — 4. В старших размерностях разумного обобщения задачи не существует.

В следующей таблице приведены хроматические числа для нескольких первых значений p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 p (sp) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 17 18

Игра «четыре краски» Стивен Барр предложил логическую игру на бумаге для двух игроков, названную «Четыре краски» . Для этой игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок чертит произвольную область, второй игрок раскрашивает её в любой из этих четырёх цветов и присоединяет свою область. Первый игрок в свою очередь раскрашивает область второго игрока и добавляет новую область, и далее каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою.

При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на своём ходу вынужден будет взять пятую краску. Существуют также следующие вариации игры: • Карта заранее разбивается случайным образом на области различной величины, и каждый ход игры меняется игрок который закрашивает область, а также меняется цвет (в строгой последовательности).

Таким образом каждый игрок закрашивает карту только двумя цветами, а в случае если не может закрасить так, чтобы области, имеющие общую границу были раскрашены в разные цвета. пропускает ход. Игра прекращается когда ни один из игроков больше не сможет сделать ни одного хода. Выигрывает тот, у кого общая площадь закрашенных им областей больше.

Квадрат разбит на несколько квадратов (в основном 4 x 4), и его стороны окрашены в один из четырёх цветов (каждый в разный цвет). Первым ходом закрашивается квадрат прилегающий к стороне, каждый последующий ход можно закрашивать тот квадрат, который прилегает к одному из закрашенных квадратов. Нельзя закрашивать квадрат теми цветами, которыми закрашен один из прилегающих к нему квадратов (в том числе и по диагонали) или прилегающая к квадрату сторона. Выигрывает игрок делающий последний ход.

Литература и источники: 1. Г. Рингель «Теорема о раске карт» : . М 1977 2. Проблема четырех красок http: //www. razlib. ru/matematika/matematicheskie_golovolo mki_i_razvlechenija/p 45. php 3. Проблема четырех красок: неоконченная история доказательства http: //www. pereplet. ru/nauka/Soros/pdf/0007_091. pdf

Спасибо за внимание!