Проблема алгоритмической разрешимости в математике.
Ø Проблема алгоритмической разрешимости была поставлена 8 августа 1900 года Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков. Ø Она состоит в нахождении универсального метода целочисленного решения произвольного алгебраического диофантова уравнения. Ø Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.
Десятая проблема Гильберта: Ø Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах.
Ø До 40 -х годов XX века исследования по десятой проблеме велись в направлении поиска требуемого алгоритма хотя бы для некоторых классов диофантовых уравнений. Ø В середине 30 -х годов формализуется понятие алгоритма, а также появляются первые примеры алгоритмически неразрешимых множеств в математической логике.
» . Ø Важным моментом стало доказательство Андреем Марковы и Эмилем Постом (независимо друг от друга) неразрешимости задачи Туэ в 1947 году, которая заключалась в следующем: уравнение P(x, y) = C, где C — целое число, а P — неприводимый многочлен с одинаковой степенью ≥ 3, всех членов не может иметь бесконечно много целых решений. Это было первое доказательство неразрешимости алгебраической задачи.
q Алгоритм - процедура, позволяющая путем выполнения последовательности определенных элементарных шагов получать однозначный результат, не зависящий от того, кто эти шаги выполнял. Ø Т. е. само построение решения можно считать доказательством алгоритма. Однако известен целый ряд математических задач, разрешить которые в общем виде не удалось.
q Проблема: возможно ли, не решая задачи, доказать, что она алгоритмически неразрешима, т. е. невозможно построить алгоритм, который обеспечил бы ее общее решение. Ø Решение этой проблемы сразу позволит избежать затрат времени и ресурсов на решение проблем, которые являются алгоритмически неразрешимыми. Ø Кроме того, она дала толчок развитию и теоретической мысли, т. к. понадобилось сначала дать строгое определение алгоритма.
Ø Задача считается алгоритмически неразрешимой, если не существует машины Тьюринга, или рекурсивной функции, или нормального алгоритма Маркова, который ее решает.
Первые доказательства алгоритмической неразрешимости. Ø Касались самой теории алгоритмов. Ø Было доказано, что неразрешима задача установления истинности произвольной формулы исчисления предикатов, т. е. исчисление предикатов неразрешимо (теорема была доказана в 1936 г. Черчем). Ø Появилась так называемая проблема остановки: можно ли по описанию алгоритма и входным данным установить, завершится ли выполнение алгоритма результативной остановкой?
Польза определения алгоритмической разрешимости: Ø Если для задачи доказано, что она алгоритмически неразрешима и это доказательство имеет смысл закона, то можно не трать усилия на поиск решения. Ø Однако следует помнить, что алгоритмическая неразрешимость какой-либо задачи в общем виде допускает, что имеют решения какие-либо ее частные случаи.
Ø Существование алгоритмически неразрешимых проблем приводит к тому, что оказывается невозможным построить универсальный алгоритм, пригодный для решения любой задачи, а следовательно, не имеет смысла предпринимать шаги по его созданию.
Ø С алгоритмически неразрешимыми проблемами часто сталкиваются при решении задач, относящихся к области искусственного интеллекта. Ø Известно, что невозможно полностью автоматизировать такие аспекты человеческой деятельности, как: перевод с одного языка на другой, выведение смыслового содержания некоторого теста, обучение других людей и т. п.
Скачать презентацию Проблема алгоритмической разрешимости в математике Ø Проблема
Проблема алгоритмической разрешимости.ppt