Признаки равенства треугольников Медиана треугольника СМ

Признаки равенства треугольников

Медиана треугольника СМ = МВ АМ – медиана треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Медиана треугольника Медиана-обезьяна, У которой зоркий глаз, Прыгнет точно в середину Стороны против вершины, Где находится сейчас?

Биссектриса треугольника АСА = ВАА АА 1 – биссектриса треугольника Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Биссектриса треугольника Биссектриса – это крыса, Которая бегает по углам И делит угол пополам.

Высота треугольника АН СВ Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. АН – высота треугольника

Высота треугольника Высота похожа на кота, Который, выгнув спину, И под прямым углом Соединит вершину И сторону хвостом.

Замечательное свойство В любом треугольнике медианы, биссектрисы, высоты или продолжения высот пересекаются в одной точке.

Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. AB=A 1 B 1 AC=A 1 C 1 BAC= B 1 A 1 C 1

Дано: ∆ABC, ∆A 1 B 1 C 1 AB=A 1 B 1 AC=A 1 C 1 A = A 1 Доказать: ∆ABC = ∆A 1 B 1 C 1 Доказательство: Наложим треугольник АВС на треугольник A 1 B 1 C 1, так чтобы совместились вершины и стороны равных углов А и А 1. Стороны треугольников АВ и А 1 В 1, АС и А 1 С 1 совместятся, так как AB=A 1 B 1, АС=А 1 С 1. Значит, точки В 1, С и С 1 также совместятся. Следовательно, BC = B 1 C 1 и ∆ABC полностью совместится с ∆A 1 B 1 C 1. Теорема доказана

Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой выбирают какую-нибудь точку С, для которой можно измерить расстояния АС и ВС, откладывают отрезки СD=АС и СЕ=ВС. Тогда расстояние между точками Е и D будет равно искомому расстоянию. Объясните почему. А В С Е D

Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В 1 (В) Дано: ∆ABC, ∆A 1 B 1 C 1 АC=A 1 C 1 ∠А = ∠A 1 ∠С = ∠С 1 В 1 Доказать: ∆ABC = ∆A 1 B 1 C 1 Доказательство: С 1 (С) (А)A 1 А Наложим треугольник АВС на треугольник A 1 B 1 C 1, так чтобы сторона АC совпала со стороной A 1 C 1. A 1 Так как ∠А = ∠A 1 , то они совпадут при наложении. Так как ∠С = ∠С 1 , то они совпадут при наложении. Тогда совпадут лучи AB и A 1 B 1, AC и A 1 C 1 и совпадут вершины B и B 1. Значит, ∆ ABC совпал с ∆ A 1 B 1 C 1. Значит, ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1. Теорема доказана С 1

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников). Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC ┴ AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В Дано: ∆ABC, ∆A 1 B 1 C 1 АC=A 1 C 1 АВ=A 1 В 1 ВC=В 1 C 1 С А Доказать: ∆ABC = ∆A 1 B 1 C 1 Доказательство: В 1 Перевернем A 1 B 1 C 1 и приложим к ABC так, чтобы совместились стороны AC и A 1 C 1. Соединим точки B 1. В 1 Т. к. AB 1 = AB, то AB 1 B – равнобедренный. A 1 Значит, ∠ AB 1 B = ∠ ABB 1. Т. к. B 1 C = BC, то B 1 CB – равнобедренный. Значит, ∠ CB 1 B = ∠ CBB 1. Следовательно, и ∠ AB 1 C = ∠ ABC (как состоящие из равных углов). Т. к. AB 1 = AB, B 1 C = BC, ∠ AB 1 C = ∠ ABC, то ∆ AB 1 C = ∆ ABC. Значит, ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1. Теорема доказана С 1

Чтобы запомнить, какой признак является первым, вторым или третьим, удобно пользоваться такой схемой: