ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ Задача Планирование

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ

Задача Планирование участков земли под картофель, проводимое методом Байеса. При наличии больших массивов земли в хозяйстве можно сознательно выбирать наиболее выгод ные для урожая участки с учетом их влажности. Метод Байеса(Названа в честь её автора, преп. Томаса Байеса) это аналитический метод, который очень полезен при сравнении гипотез. В этом методе вероятности всех возможных исходов эксперимента объединяются с гипотезами, известными до проведения эксперимента, и затем исчисляется вероятность того, что данные гипотезы подтвердятся в ходе эксперимента.

В период вегетации требуется определенное количество вла ги. Если влажность будет излишняя, то часть посадочного мате риала начнет гнить, урожай будет плохим. Вегетация это(от лат. vegetatio — возбуждение, оживление), произрастание, состояние активной жизнедеятельности растительных организмов (в отличие от состояния покоя). Картофель в средней полосе сажают обычно в апреле. В это время трудно предвидеть, каким будет лето сухим или влаж ным. Фактически создается ситуация, которую можно считать игрой с природой. Мы должны принять решение, на каких уча стках сажать картофель: на сухих или на тех, которые сами по себе являются влажными

Введем условные обозначения: W = {Q 1, Q 2} множество состояний природы; Q 1 осадки выше нормы; Q 2 – сухое лето (осадки не выше нормы); А = {а 1, a 2} множество решений статистика; а 1 посадку производить на участках с большой влажностью почвы; a 2 посадку производить на сухих участках, так как ожида ется влажное лето.

Известны средние урожаи в зависимости от принятого реше ния и состояния природы. При этом наименьшие урожаи быва ют, если осадки выше нормы Q 1), и ( принимается решение а 1 -сажать картофель на влажных участках. Наибольшие урожаи в среднем бывают при решении а 2 сажать картофель на сухих участках и при состояниях природы Q 1 влажное лето. Прибыль на 1 га в тыс. руб. в среднем известна по многолет ним результатам. Итак, мы получили значения прибыли, а нас интересуют потери.

Решение. Представим функцию потерь L(Q, a) в виде разно сти между наибольшей прибылью и прибылью, которая может быть получена во всех остальных случаях. Статистик должен получить дополнительную информацию о состояниях природы при наблюдениях погоды в апреле, когда проводится посадка.

Пусть X = {x 1, x 2} - множество наблюдений, где х1 и х2 наблюдается большое и малое количество осадков соответ ственно. В зависимости от состояния природы Qj и наблюдения пого ды i получим следующие значения условных х распределений: По двум решениям статистика а 1 и а 2 и результатам наблю дения получаем четыре нерандомизированные (т. е неслучайные)функции решения d Î D.

В статистической игре (W, D, R), которая посвящена выбору участков земли для посадки картофеля, определим функции риска R(Q, d):

Полученные результаты функций риска R(Q, d) представим в таблицу, откуда видно, что функция решения d 2 доминирует над функциейd 3. Следовательно, d 2 недопустима. Она не относится к подмножеству допустимых функций решения. Мы в этом убе димся при расчете байесовских рисков.

Будем считать, что в рассматриваемом районе априорное распределение состояний природы приводит к одинаковым шан сам для сухого и влажного лета при исследовании состояний природы. Априорное это распределение вероятностей распредиление какой либо случайной величины, рассматриваемое в противоположность условному распределению этой случайной величины при нек ром дополнительном условии. Значит, Р(Q 1) = 0, 5; P(Q 2) = 0, 5. Вычислим байесовский риск r(x, d):

Вывод. Нерандомизированная функция решения d 3, кото рая включает решение для (x 1) = d а 2 и d(x 2) = а 1, является бай есовской функцией решения. Это оптимальная стратегия стати стика: в рассматриваемых условиях, если весной много осадков (x 1), принимается решение а 2 о том, что картофель нужно сажать на сухих участках земли А 2. Если весной мало осадков (x 2), при нимается решение 1 о посадке а картофеля на участках А 1, где влажность почвы большая.

Задача 2. Планирование участков земли под посевы карто феля методом линейного программирования. В предыдущей задаче мы получили оптимальное байесовское решение d 3. Теперь попро буем получить минимаксную(чистую), более осторожную стратегию. Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задачна множествах мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Минимаксную функцию решения следует искать как смешан ную стратегию среди рандомизированных (случайных)функций решения, по тому что матрица значений функций риска R(Q, d) для нерандо мизированных ункций решения d Î D не имеет ф седловой точки. Седловая точка это где функция достигает максимума по исходным переменным и минимума по множителям. Применяя метод линейного программирования и учитывая, что при оптимальном решении ограничения записываются как равенства, получаем из табл. при ненулевых значениях h 1 и h 3 систему уравнений, которая включает цену игры v:

В результате решения этой системы уравнений получим: Вывод. Минимаксная стратегия, еще более осторожная, чем оптимальная байесовская, для сельскохозяйственного предприя тия заключается в использовании стратегий d 1 и d 3 с вероятно стью соответственно 0, 04 и 0, 96. Как это применять на практике? Если весной наблюдается х1 (большое количество осадков), то осуществляется случайный выбор с вероятностями 0, 04 и 0, 96 одного из решений: а 1 или а 2. При наблюдении х2 (малое коли чество осадков весной) принимается решение 1 о a посадке кар тофеля на влажных участках 1. А

Спасибо за внимание!!!