Принятие решений в интеллектуальных системах Принятие решений это

Принятие решений в интеллектуальных системах Принятие решений это особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий

Источники 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. – М. : Логос, 2002 Моисеев В. С. и др. Теория принятия решений: Учебное пособие, 2006 Орлов А. И. Теория принятия решений. 2005 Черноруцкий И. Г. Методы принятия решений, 2005 Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. 2001 Матвеев М. Г. И др. Модели и методы искусственного интеллекта. Применение в экономике. 2008

Модели ПР • Модели которые строит экономист, отличается от модели физика, математика, инженера. • Физик, описывающий уравнениями состояние газа в закрытой камере, создает математическую модель процесса. • Модель экономиста описывает процессы, в которых важную роль играют люди: рабочие, продавцы, водители и т. д. • В жизни человеческое поведение в значительной степени непредсказуемо и сложно для моделирования • Модели, описывающие поведение людей, активно используются в исследовании операций (ИО), но в этом случае, люди не имеют свободы поведения.

Задачи исследования операций • • Под ИО понимают применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности (Е. С. Вентцель) Основными этапами решения любой задачи в ИО являются: 1)построение модели; 2)выбор критерия оптимальности; 3)нахождение оптимального решения. • Классические задачи ИО: транспортная задача, задача о назначениях, сетевые модели, комбинаторные задачи и т. д. • Словесному описанию этих задач соответствует четкое математическое описание, представляющее собой математическую модель

Задачи ИО обычно сводятся к задачам линейного программирования

Пример. Задача о пищевом рационе • Имеется 4 вида продуктов питания: • P 1, P 2, P 3, P 4 • Известна стоимость продуктов питания: c 1, c 2, c 3, c 4 соответственно. • Из этих продуктов необходимо составить пищевой рацион, который должен содержать: • - белков не менее b 1 углеводов не менее b 2 жиров не менее b 3

Столы и стулья • Цех может производить столы и стулья. На производство стула идет 5 ед. материала, на производство стола – 20 ед. • Стул требует 10 человеко-часов, стол – 15. Имеется 400 единиц материала (красного дерева) и 450 человеко-часов. • Прибыль при производстве стула – 45 у. е. , стола – 80 у. е. • Сколько надо сделать стульев (x 1) и столов (x 2), чтобы получить максимальную прибыль?

Транспортные задачи (модели) Транспортные модели описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (ПО) в пункт назначения (ПН). В качестве ПН могут быть магазины, рынки, склады и т. д. Назначение транспортной задачи – определение объемов перевозок из ПО в ПН с минимальной суммарной стоимостью перевозок.

Ограничения • 1. Суммарное количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте. Это дает m условий равенств. 2. Суммарное количество груза, доставляемое в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно заявке. Это дает n условий равенств

Решение • 3. Суммарная стоимость всех перевозок Это типичная задача линейного программирования

Виды моделей • ТМ могут быть закрытыми или открытыми • Закрытая модель – это модель, в которой суммарная мощность поставщиков равна суммарному спросу потребителей. • В противном случае модель наз. открытой

Методы решения: • • • Метод северо-западного угла. Метод наименьшей стоимости. Метод штрафных функций. Метод циклических перестановок. Метод потенциалов.

Пример • С трех кирпичных заводов перевозятся кирпичи на 4 строительные площадки. • Заданы: ежедневный объем выпуска (тыс. шт. ) • Ежедневная потребность (тыс. шт. ) • Надо обеспечить минимальную стоимость перевозок

Пример B 1 10 A 1 bj B 3 B 4 9 2 50 aj 5 110 4 A 2 A 3 B 2 7 3 6 12 8 140 7 14 120 40 40 50 180 150 160 140 200

Решите задачу о назначениях Распределите 5 работников по 5 работам 5 8 9 7 4 9 6 3 5 8 2 5 7 8 4 7 8 6 4 3 10 3 5 9 5

Найдите кратчайшее расстояние методом Дейкстры • 12 5 7 2 3 9 1 8 2 8 6 4 3 3 2 6 7 9 3 4 15 7

• Даны 7 предметов с объемами: 5, 10, 6, 8, 4, 12, 9 единиц (кг) • И ценностями: • 2, 6, 4, 3, 5, 8, 7 единиц • Объем рюкзака не должен превышать 40 кг • Загрузите рюкзак наилучшим образом.

Продажа сельхозпродуктов • Фермер вырастил урожай и ему надо вывезти его на ярмарку. Продукты: картофель, капуста, морковь, свекла, огурцы, помидоры, яблоки. Всего 7 видов с объемами: 0. 5, 1. 0, 0. 6, 0. 8, 0. 4, 1. 2, 0. 9 И ценностями: 2, 6, 4, 3, 5, 8, 7 тыс. руб. Объем автофургона не должен превышать 4. 0 т Надо загрузить автофургон наилучшим образом.

Далее • g 1 x 1+g 2 x 2+…+gnxn=Σgixi • c 1 x 1+c 2 x 2+…+cnxn=Σcixi, • Σgixi<=G, где i=1, n • Σсixi→max • хi>=0

Комбинаторные задачи • К этой группе задач относятся: • Задача теории расписаний. • Задача о коммивояжере (задача о бродячем торговце). • Например, составление расписания по оптимальной обработке деталей. • Пусть имеется n – деталей и два станка токарный и фрезерный. Каждая деталь должна быть последовательно обработана на каждом из этих станков. • Как загрузить эти детали, чтобы время было минимальным? От выбора порядка обработки деталей зависят простои оборудования.

Задача коммивояжера • Известна как задача о бродячем торговце. Район, который должен посетить бродячий торговец, содержит некоторое количество городов, расстояние между которыми являются известными. Требуется найти маршрут, проходящий через все пункты по одному разу и возвращающийся в исходный. Если таких маршрутов много, требуется найти кратчайший из них.

Задача коммивояжера часто встречается на практике 1. Определение маршрута развозки продуктов по торговым точкам города так, чтобы суммарная длина пробега машины была бы минимальной. 2. Выбор минимальной по протяженности автобусной линии в городе, на ряде улиц которого возможно лишь одностороннее движение и фиксировано местоположение остановок автобусов. 3. Расстановка указателей в музее , когда известно местоположение каждого экспоната и расстояние между ними и требуется установить такой порядок осмотра, при котором затрачивается минимум времени на переходы между экспонатами. 4. Задача определения оптимального порядка обработки деталей. 5. Развозка почты. 6. Задача соединения отдельных пунктов линиями электропередач, водопровода и т. д.

Математическая модель задачи • Имеется N городов, которые должен обойти коммивояжер с минимальными затратами. При этом на его маршрут накладываются два ограничения: • - маршрут должен быть замкнутым, т. е. коммивояжер должен вернуться в тот город откуда начал движение; • - в каждом из городов коммивояжер должен побывать точно один раз, т. е. надо обязательно обойти все города, при этом не побывав ни в одном городе дважды. • N – число городов, • dij – расстояние между i и j, • xij – матрица переходов,

Далее • 1, если коммивояжер следует из i в j • хij= • 0, иначе • • • Σxij=1 – выезжает из каждого города 1 раз i Σxij=1 – въезжает в каждый город 1 раз j xij>=0 xij={0, 1} i, j=1, N

Завдача может быть решена методом перебора, Количество вариантов будет составлять (n-1)! Так при n=4 (4 -1)!=2*3=6 5! 10! 20! 30! 50! ~102 ~106 ~1018 ~1040 ~1064

Методы решения • • • 1. Метод перебора. 2. Жадный алгоритм. 3. Метод ветвей и границ. 4. Деревянный алгоритм. 5. Генетический алгоритм.

Жадный алгоритм • Заключается в нахождении наикратчайшего расстояния путем выбора самого короткого, еще не выбранного ребра. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. •

Пример. Решение задачи о коммивояжере методом жадного алгоритма. 1 2 3 4 5

Матрица расстояний 1 2 3 4 5 1 – 9 8 4 10 2 3 4 5 6 5 1 2 – 3 7 4 4 – 2 5 5 6 – 2 7 2 8 – (1 4)

1 2 6 3 5 4 ∞ 2 – 3 7 3 4 – 2 5 7 2 8 5 2 4 5 – (4 3) 2 3 5 1 6 5 2 2 – 3 4 (3 5) 5 7 2 –

(5 2) 1 2 2 6 – 5 2 4 Суммарное расстояние: L=4+2+2+4+6=18 4 2 2 4 6 1→ 4→ 3→ 5→ 2→ 1

Решение задачи о коммивояжере 1 2 3 4 L=4+2+2+4+6=18 5

Появление многокритериальности При широком применении методов исследования операций (ИО) аналитики сталкиваться с задачами, где имеется не один, а несколько критериев оценки качества решения.

Классификация • Подходы ИО и принятия решений (ПР) существенно различаются, так как они направлены на принципиально разные проблемы ПР. • Выделяют следующие проблемы: • Хорошо структуризованные, или количественно сформулированные проблемы, - те, в которых существенные зависимости выявлены настолько хорошо, что могут быть выражены в числах или символах, получающих в конце концов численные оценки. • Слабоструктуризованные, или смешанные проблемы, - те, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные, малоизвестные и неопределенные стороны проблем имеют тенденцию доминировать. • Слабоструктуризованные и неструктуризованные проблемы исследуются в рамках научного направления, называемого принятием решений при многих критериях.

Два пространство переменных (x 1, x 2) и пространство критериев (c 1, c 2) • Пример. Экономическая система государства х2 Переменные: Х 1 – увеличение денежной массы; 1 Х 2 – увеличение количества рабочих мест. 0. 5 Критерии: С 1 – уменьшение безработицы (%); С 2 – увеличение ВНП (%). D х1 0. 5 1

Критерии С 1 – уменьшение безработицы (%); с2 С 2 – увеличение ВНП (%). 1 С 1=0. 1*Х 1 + 0. 9*Х 2 С 2=0. 5*Х 1 + 0. 5*Х 2 0. 5 S 0. 5 1 с1

Методы решения многокритер. задач ПР Сведения к однокр-ой задачи Свертка критериев Метод контр. пок. Выдел. осн. критер Оптимизация по Парето

Пример Предположим, что приоритет первого критерия – 60%, второго – 40%.

Множество Парето • Что касается точек дуги АВ, то стремясь увеличить одну из координат, мы непременно уменьшаем другую U Граничная точка, попадающая на отрезок АB и представляет собой множество Парето. A B V Граничные точки, перемещение которых ведет к увеличению одной координаты и одновременное уменьшение другой наз. множеством Парето.

Методы решения: • • Метод уступок. Метод идеальной точки. Метод ограничений. Метод анализа иерархий.

Пример. Строительство нового аэропорта около города М. Необходимо выбрать площадку. • 1. 2. 3. Критерии: Стоимость постройки Расстояние от города Минимальное шумовое воздействие Видно, что все эти критерии противоречивы. Предположим, что комиссия отобрала для строительства аэропорта 4 варианта. Площадки A, B, C, D. Для оценки альтернатив используется метод аналитической иерархии.

Оценка многокритериальных альтернатив. Подход аналитической иерархии • • • 1. 2. 3. 4. Постановка задачи: Дано: общая цель (или) цели решения задачи; Критериев – N, альтернатив – n Требуется: выбрать наилучшую альтернативу Этапы: Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы Далее ЛПР выполняет по парные сравнения элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся в числа (таблица). Вычисляются коэф. важности для элементов каждого уровня. Определяется наилучшая альтернатива.

Структуризация • Цель • Крите рии • Площад ки Строительство аэропорта Стоимость строительства С 1(млн. $) Площадка А A(180, 70, 10) Время в пути от аэропорта до центра города C 2 (время в мин. ) Площадка B B(170, 40, 15) Количество людей подверг шумовым воз-ям С 3 (тысяч. ) Площадка C C(160, 55, 20) Площадка D D(150, 25)

Шкала относительной важности Уровни важности Равная важность Умеренное превосходство Существенное превосходство Значительное превосходство Очень большое превосходство Число 1 3 5 7 9

Матрица сравнения критериев Критерии С 1 С 2 С 3 Собствен. вектор Вес критерия С 1 1 5 3 2. 47 0. 65 С 2 1/5 1 3 0. 848 0. 22 С 3 1/3 1 0. 48 0. 13 Если Сij=k, то автоматически Сji=1/k

Расчет собственного вектора

Сравнение альтернатив по каждому критерию По критерию C 1(стоимость строительства) Альтернатива A B C D A 1 0. 2 0. 14 0. 11 0. 23 0. 04 B 5 1 0. 33 0. 2 0. 76 0. 13 C 7 3 1 0. 33 1. 63 0. 27 D 9 5 3 1 Вес 3. 4 0. 56

По критерию С 2 (время проезда) • Альтернатива Соб. вектор Вес A B C D A 1 0. 11 0. 2 0. 14 0. 23 0. 05 B 9 1 3 1 2. 28 0. 43 C 5 0. 33 1 1 1. 14 0. 22 D 7 1 1. 63 0. 3

По критерию С 3 (шумовое воздействие) • Альтернатива A B C D Соб. вектор Вес A 1 3 5 9 3. 4 0. 05 B 0. 33 1 3 7 1. 63 0. 43 C 0. 2 0. 33 1 5 0. 76 0. 13 D 0. 11 0. 14 0. 2 1 0. 23 0. 04

Синтез коэффициентов важности • Осуществляется по формуле:

Выбор площадки С 1 0. 65 А 0. 04 В 0. 13 С 0. 27 С 2 0. 22 D 0. 56 A 0. 05 VA=0. 65*0. 04+ 0. 22*0. 05+0. 13* 0. 56=0. 11 С 3 0. 13 B 0. 43 VB=0. 65*0. 13+ 0. 22*0. 43+0. 13* 0. 27=0. 215 C 0. 22 B 0. 27 C 0. 13 D 0. 04 D 0. 3 VC=0. 65*0. 27+ 0. 22*0. 22+0. 13* 0. 13=0. 241 VD=0. 65*0. 56+ 0. 22*0. 3+0. 13* 0. 04=0. 431

Получаем 2 альтернативы K 1 K 2 K 3 A 5 3 7 D 6 3 1

Проверим остаточные знания • • • Классификация методов принятия решений. Могут ли решения быть допустимыми? Укажите математические методы ПР. Какой класс математических моделей ПР является наиболее распространенным? Сформулируйте общую постановка задачи линейного программирования. Какова цель решения транспортных задач (ТЗ). Сформулируйте общую постановку ТЗ. Укажите методы решения ТЗ Какой метод ТЗ является опорным. Приведите способ решения ТЗ методом наименьшей стоимости, штрафных функций.

Продолжение • В чем отличие метода наименьшей стоимости от метода С-З угла. • Какой план является оптимальным • Сформулируйте идею построения потенциального плана • Что такое потенциальный план. • В чем отличие ТЗ с неправильным балансом от задачи с правильным балансом. • Каков алгоритм решения ТЗ с неправильным балансом? • Когда требуется решение ТЗ по критерию времени? • Дайте алгоритм решения ТЗ по критерию времени. • Сформулируйте задачу о назначениях. Метод решения. • Методы поиска кратчайших расстояний • Сформулируйте задачу о рюкзаке. Методы решения.

Thank you